[論文レビュー] On the projections of mutual multifractal spectra

Zied Douzi, Bilel Selmi|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特定の条件下で、ユークリッド空間における直交射影のもとで、2つの測度の相互多スケールスペクトルが保存されることを確立している。一般化されたハウスドルフおよびパッキング測度を用い、Svetovaの多スケール形式を適用することで、測度が微分可能性および正の測度条件を満たす場合、レベル集合 $ E_{u,u}(\beta) $ のハウスドルフ次元およびパッキング次元が射影によって不変であることを証明している。

ABSTRACT

The aim of this article is to study the behaviour of the relative multifractal spectrum under projections. First of all, we depict a relationship between the mutual multifractal spectra of a couple of measures $(μ, ν)$ and its orthogonal projections in Euclidean space. As an application, we improve Svetova's result (Tr. Petrozavodsk. Gos. Univ. Ser. Mat., 11 (2004), 41-46) and study the mutual multifractal analysis of the projections of measures.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における直交射影の下での相互多スケールスペクトルの挙動を調査すること。
• Svetovaの相互多スケール解析に関する結果を改善し、射影されたレベル集合の次元に対する下界を確立すること。
• ハウスドルフ次元およびパッキング次元が保存されるための十分条件を導出すること。
• レジェンドル変換および次元関数を介して、元の測度と射影された測度の一般化された多スケール測度を関連付けること。
• 幾何的射影操作における相互多スケールスペクトルの安定性の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 2つの測度 $ \nu $ および $ \nu $ に対して、パrameter $ q,t,s \in \mathbb{R} $ を用いて定義される一般化されたハウスドルフおよびパッキング測度 $ \tilde{\frak{H}}^{q,t,s}_{\nu,\nu} $ および $ \tilde{\frak{P}}^{q,t,s}_{\nu,\nu} $ を導入する。
• レベル集合の次元を特徴付けるために、連合スケーリング関数のレジェンドル変換として定義される相互多スケール関数 $ B_{\nu,\nu}(q,t) $ を定義する。
• 臨界指数 $ s = B_{\nu,\nu}(q,t) $ を用いて多スケール形式を適用し、正の一般化された測度の存在を保証する。
• $ (q,t) $-エネルギーの射影不変性および $ B_{\nu,\nu}(q,t) $ の微分可能性を用いて、次元推定が保存されることを示す。
• 幾何測度論の定理を適用し、ほとんどすべての射影 $ V $ に対して $ \dim_H E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) = \dim_P E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) = B^*_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ が成り立つことを示す。
• 測度 $ \mathcal{B}_{\nu,\nu}(\gamma) $ の次元が、$ \alpha/\beta = \gamma $ を満たす単一の $ E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ に完全に集中しており、この構造が射影のもとでも保存されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度のペアの相互多スケール次元が直交射影のもとでいつ保存されるか。
• RQ2 相互多スケールレベル集合に対して、一般化されたハウスドルフおよびパッキング測度は射影によってどのように変化するか。
• RQ3 射影されたレベル集合 $ E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) $ の次元に対する下界を等式に改善できるか。
• RQ4 相互多スケール関数 $ B_{\nu,\nu}(q,t) $ の微分可能性が次元保存に果たす役割は何か。
• RQ5 相対的多スケールスペクトル $ \mathcal{B}_{\nu,\nu}(\gamma) $ はレベル集合 $ E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ の間でどのように分布しているか。この分布は射影のもとでも維持されるか。

主な発見

• ほとんどすべての射影 $ V \in G_{n,m} $ に対して、相互多スケールレベル集合 $ E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) $ のハウスドルフ次元およびパッキング次元は、元の集合 $ E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ のそれらと等しい。
• 測度 $ \mathcal{H}^{q,t,B_{\nu,\nu}(q,t)}_{\nu,\nu}(\operatorname{supp}\nu) > 0 $ かつ $ B_{\nu,\nu}(q,t) $ が点 $ (q,t) $ で微分可能であるとき、相互多スケール次元 $ B^*_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ は射影に対して不変である。
• 測度 $ \mathcal{B}_{\nu,\nu}(\gamma) $ の次元は、$ \alpha/\beta = \gamma $ を満たす単一の $ E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ に完全に集中しており、この性質は射影のもとでも保存される。
• 一般化された測度 $ \tilde{\frak{H}}^{q,t,B_{\nu,\nu}(q,t)}_{\nu,\nu}(E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta)) > 0 $ は、$ \dim_H E_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) \geq \alpha q + \beta t + B_{\nu,\nu}(q,t) $ を意味し、所定の条件下では等式が成り立つ。
• 仮定 $ H_1 $ および $ H_2 $ の下で、すべての $ V \in G_{n,m} $ に対して $ \dim_H E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) = \dim_P E_{\nu_V,\nu_V}(\alpha,\beta) = B^*_{\nu,\nu}(\alpha,\beta) $ が成り立つ。
• 証明は、$ (q,t) $-エネルギーの不変性およびレジェンドル変換構造に依存しており、次元推定が射影全体にわたって保存されることを保証する。