[論文レビュー] On the Properties of the Synthetic Control Estimator with Many Periods and Many Controls

Bruno Ferman|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2019

Advanced Causal Inference Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形因子モデルの下で、事前期間の数と対照単位の数が両方とも大きくなる条件下において、合成コントロール推定量の漸近的不偏性を確立する。主な結果は、重みが多数の対照単位に分散されることで、SC重みが漸近的に処理対象単位の因子負荷を回復することであり、これは、処理割り当てと時変な未観測要因の間の相関が存在する場合でも一貫性を保証する。

ABSTRACT

We consider the asymptotic properties of the Synthetic Control (SC) estimator when both the number of pre-treatment periods and control units are large. If potential outcomes follow a linear factor model, we provide conditions under which the factor loadings of the SC unit converge in probability to the factor loadings of the treated unit. This happens when there are weights diluted among an increasing number of control units such that a weighted average of the factor loadings of the control units asymptotically reconstructs the factor loadings of the treated unit. In this case, the SC estimator is asymptotically unbiased even when treatment assignment is correlated with time-varying unobservables. This result can be valid even when the number of control units is larger than the number of pre-treatment periods.

研究の動機と目的

• 事前期間の数と対照単位の数が両方とも大きくなる条件下での合成コントロール推定量の漸近的挙動を分析すること。
• 処理割り当てと時変な未観測要因の間の相関が存在する場合でも、合成コントロール推定量が漸近的に不偏のままである条件を同定すること。
• 重みが増加する数の対照単位に分散される場合に、SC単位の因子負荷が処理対象単位の負荷に収束することを確立すること。
• 特に、事前適合が不完全な状況下において、固定された対照単位設定を超えた合成コントロールの理論的理解を拡張すること。
• 高次元の対照設定における推定量の一貫性を保証する重み分散の役割を明確にすること。

提案手法

• 潜在的アウトカムの線形因子モデルを仮定し、アウトカムを共通因子と個別的ショックに分解する。
• 合成コントロール単位は、対照単位の重み付き平均として定義され、事前期間の適合誤差を最小化する重みが用いられる。
• 対照単位の数が増加する際、SC単位の因子負荷が処理対象単位の負荷に確率的に収束する理論的条件を導出する。
• 収束は、重みが多数の対照単位に分散されることに依存し、漸近的に処理対象単位の因子構造が再構築される。
• 推定量の漸近的正規性を確立し、極限分散は対照単位と事前期間の比に依存する。
• 高次元確率の道具を用いて分析を行い、濃縮不等式や正規変数の二次形式のカイ二乗近似を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前期間の数と対照単位の数が両方とも大きくなる条件下で、合成コントロール推定量が漸近的に不偏のままである条件は何か？
• RQ2 重みが多数の対照単位に分散される場合、合成コントロール推定量は処理対象単位の因子負荷を一貫して回復できるか？
• RQ3 事前適合が不完全な場合でも、処理割り当てと時変な未観測要因の間の相関が存在する場合、推定量は一貫性を保つか？
• RQ4 重み分散は、合成コントロール単位の因子負荷が処理対象単位の負荷に収束することを保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 対照単位と期間の次元が増加する条件下で、合成コントロール推定量の漸近的分布はどのように振る舞うか？

主な発見

• 処理対象単位の因子負荷が、増加する数の対照単位に分散された重み付き平均によって漸近的に回復される場合、合成コントロール推定量は漸近的に不偏である。
• 対照単位の数が事前期間の数を上回る場合でさえも、SC単位の因子負荷が処理対象単位の負荷に収束する。
• 正則性条件の下で、推定量の漸近的分散は σ² / (1 - c) に収束する。ここで c は事前期間と対照単位の比である。
• 因子負荷が分散された重みによって回復できる限り、L2正則化を要件とせず、SC重みが事前適合誤差を漸近的に最小化する。
• 推定量の極限分布は、平均がゼロで分散が σ² / (1 - c) の正規分布であり、これは大標本における有効な推論を示唆する。
• 因子負荷回復条件が満たされる限り、処理と時変な未観測要因の間の相関が存在する場合でも、推定量は一貫性を保つ。