[论文解读] On the $\psi$-Hilfer fractional derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文引入了 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，这是一种关于另一函数 $ψ$ 的新型分数阶导数，推广了现有的分数阶微积分框架。通过利用 $ψ$-分数阶积分和Mittag-Leffler函数的性质，作者建立了一类统一的分数阶积分与导数，为具有记忆性和遗传特性的复杂系统建模提供了灵活的工具。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional derivative with respect to another function the so-called $\psi$-Hilfer fractional derivative. We discuss some properties and important results of the fractional calculus. In this sense, we present some uniformly convergent sequence of function results and examples involving the Mittag-Leffler function with one parameter. Finally, we present a wide class of integrals and fractional derivatives, by means of the fractional integral with respect to another function and the $\psi$-Hilfer fractional derivative.

研究动机与目标

• 开发一种新的分数阶导数——$ψ$-Hilfer导数，通过引入参考函数 $ψ$ 来推广现有的分数阶微积分概念。
• 通过使用 $ψ$-分数阶积分和新导数，统一一大类分数阶积分与导数。
• 为 $ψ$-Hilfer导数建立理论基础，包括收敛性性质和函数列。
• 通过涉及单参数Mittag-Leffler函数的实例，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 通过关于函数 $ψ$ 的分数阶积分来定义 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，扩展了经典的Hilfer导数。
• 该方法依赖于 $ψ$-分数阶积分算子，该算子推广了Riemann-Liouville和Caputo分数阶积分。
• 分析函数列的一致收敛性，以确保导数行为的稳定性和一致性。
• 使用单参数Mittag-Leffler函数作为关键分析工具，以构建和验证实例。
• 通过 $ψ$-依赖的形式体系，将分数阶积分与导数整合为单一、连贯的结构。
• 利用 $ψ$-Hilfer导数的性质，推导出理论结果，包括其在函数列和积分变换下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Hilfer分数阶导数推广以包含参考函数 $ψ$，从而增强建模的灵活性？
• RQ2 在函数列中，$ψ$-Hilfer导数的基本性质和收敛行为是什么？
• RQ3 $ψ$-Hilfer导数与现有的分数阶积分和导数算子之间有何关系？
• RQ4 单参数Mittag-Leffler函数在 $ψ$-Hilfer框架内可用于哪些方式来构建和验证实例？
• RQ5 能否通过 $ψ$-Hilfer导数系统地推导出一类统一的分数阶积分与导数？

主要发现

• 通过引入参考函数 $ψ$，$ψ$-Hilfer分数阶导数推广了经典Hilfer导数，使其在复杂系统建模中具有更广泛的应用性。
• 为 $ψ$-Hilfer导数建立了函数列的一致收敛性，确保了分析上的稳定性和一致性。
• 该框架通过使用 $ψ$-分数阶积分和新导数算子，成功统一了一大类分数阶积分与导数。
• 基于单参数Mittag-Leffler函数的实例展示了所提出导数的实际效用和分析可处理性。
• $ψ$-Hilfer导数提供了一种灵活且系统化的分数阶微积分方法，扩展了现有分数阶算子的适用范围。