[论文解读] Hilfer-Katugampola fractional derivative

D. S. Oliveira, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用 21

一句话总结

本文引入了希尔弗-卡图加姆波拉分数阶导数，这是一种统一的广义形式，可在黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛和希尔弗等主要分数阶导数之间实现插值。通过建立非线性分数阶初值问题与伏尔泰拉积分方程之间的等价性，作者利用不动点理论和逐次逼近法证明了解的存在性与唯一性，并通过广义梅尔钦-莱夫勒函数表达了解的解析形式。

ABSTRACT

We propose a new fractional derivative, the Hilfer-Katugampola fractional derivative. Motivated by the Hilfer derivative this formulation interpolates the well-known fractional derivatives of Hilfer, Hilfer-Hadamard, Riemann-Liouville, Hadamard, Caputo, Caputo-Hadamard, Liouville, Weyl, generalized and Caputo-type. As an application, we consider a nonlinear fractional differential equation with an initial condition using this new formulation. We show that this equation is equivalent to a Volterra integral equation and demonstrate the existence and uniqueness of solution to the nonlinear initial value problem.

研究动机与目标

• 开发一种统一的分数阶导数，以广义化并插值已知的分数阶导数，如黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛、希尔弗及其变体。
• 在新导数形式下，建立带初值的非线性分数阶微分方程与伏尔泰拉积分方程之间的等价性。
• 利用不动点理论，在适当的函数空间中证明初值问题解的存在性与唯一性。
• 通过逐次逼近法，为特定分数阶微分方程推导解析解。
• 证明已知的特例（如黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛）可作为新导数的特殊极限情形被恢复。

提出的方法

• 将希尔弗-卡图加姆波拉分数阶导数定义为卡图加姆波拉分数阶导数的推广，引入额外的插值参数 β，结合希尔弗与希尔弗-哈达玛导数的特性。
• 使用带参数 ρ 的广义分数阶积分算子 $ {}^{ ho} ext{J}_{a^{+}}^{ ho} $ 来定义导数并分析其性质。
• 通过积分表示与迭代代入，建立非线性分数阶微分方程与伏尔泰拉积分方程之间的等价性。
• 在加权空间 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ 中应用巴拿赫不动点定理，证明解的存在性与唯一性。
• 采用逐次逼近法，通过迭代构造解，得到包含广义梅尔钦-莱夫勒函数的级数表示。
• 将最终解表示为广义梅尔钦-莱夫勒函数 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $，其参数由方程的阶数与初值导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种单一的分数阶导数，使其统一并插值黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛、希尔弗及其他经典分数阶导数？
• RQ2 涉及希尔弗-卡图加姆波拉分数阶导数的非线性初值问题是否等价于一个伏尔泰拉积分方程？
• RQ3 该初值问题在定义良好的函数空间中是否具有唯一解？
• RQ4 能否利用新导数为特定分数阶微分方程推导出解析解？
• RQ5 已知的分数阶导数（如黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛）是否可作为希尔弗-卡图加姆波拉导数的特例被恢复？

主要发现

• 希尔弗-卡图加姆波拉分数阶导数广义化了希尔弗与卡图加姆波拉导数，并将黎曼-刘维尔、卡波托、哈达玛、希尔弗-哈达玛及其他分数阶导数作为特例统一起来。
• 带初值的非线性分数阶微分方程与伏尔泰拉积分方程等价，从而可应用积分方程技术进行分析。
• 在空间 $ C_{1- ho, ho}^{eta}[a,b] $ 中，初值问题存在唯一解，其证明基于巴拿赫不动点定理。
• 解通过逐次逼近法迭代构造，收敛至包含广义梅尔钦-莱夫勒函数 $ E_{ ho,1+rac{eta}{ ho},1+rac{eta-1}{ ho}} $ 的闭式表达。
• 解的表达式可恢复已知结果：当 ρ→1 且 β=0 时，退化为黎曼-刘维尔情形；当 ρ→1 且 β=1 时，对应卡波托情形；当 ρ→0⁺ 且 β=0 时，对应哈达玛情形。
• 逐次逼近法产生一个收敛的级数解，其系数涉及伽马函数的比值，从而确认了方程的解析可解性。