[論文レビュー] On the rank of universal quadratic forms over real quadratic fields

Valentin Blomer, Vítězslav Kala|arXiv (Cornell University)|May 10, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 上の対角的普遍二次形式に必要な変数の最小数に関する上限と下限を確立し、そのランクを整数環の基本単数の連分数展開に関連付ける。最小ランク $m_{\mathrm{diag}}(D)$ は、連分数係数の和の下限と上限の両方で抑えられ、漸近的推定値により、これらの和が $L$-関数および類数データと結びつく。

ABSTRACT

We study the minimal number of variables required by a totally positive definite diagonal universal quadratic form over a real quadratic field $\mathbb Q(\sqrt D)$ and obtain lower and upper bounds for it in terms of certain sums of coefficients of the associated continued fraction. We also estimate such sums in terms of $D$ and establish a link between continued fraction expansions and special values of $L$-functions in the spirit of Kronecker's limit formula.

研究の動機と目的

• 実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 上の対角的普遍二次形式に必要な変数の最小数を特定すること。
• この最小ランクを整数環の基本単数の連分数展開に関連付けること。
• 判別式 $\Delta$ や類数を用いて、連分数係数の和の増大度を推定すること。
• 連分数係数と $L$-関数の特別値との間の関係を、クロネッカーの極限公式の思想を拡張する形で確立すること。

提案手法

• $M_D$ を、$D \mod 4$ に応じて $\omega_D = \sqrt{D}$ または $(1+\sqrt{D})/2$ の連分数係数の重み付き和として定義し、周期長が偶数か奇数かによって異なる式を用いる。
• $M^{*}_{D,\varepsilon}$ を定義し、$u_i \geq D^{1/8+\varepsilon}$ を満たす係数の和として、下限の精密化を行う。
• $\mathcal{O}_K$ 内の加法的分解不能整数の理論を用いて、任意の対角的普遍形式に現れる係数として必須となる要素を特徴付ける。
• 類数 $h$、狭義類数 $h^+$、$L$-関数 $L(s, \chi_\Delta)$ を用いた解析的整数論的手法により、係数の和を推定する。
• ノルム $N\mathfrak{a} \leq \sqrt{\Delta}$ であるイデアル $\mathfrak{a}$ に対する重み付き和と、滑らかな切り捨て関数 $w$ を用いて、漸近公式を導出する。
• 一般化リーマン予想のもとで $L$-関数の関数等式と評価を用いて、漸近的推定値を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 上の対角的普遍二次形式に必要な変数の最小数は何か？
• RQ2 基本単数の連分数展開の係数は、加法的分解不能整数の表現可能性とどのように関係するか？
• RQ3 連分数係数の和の $D$ や $\Delta$ に関する漸近的増大度は何か？
• RQ4 連分数と $L$-関数の特別値との間の関係を、クロネッカーの極限公式の精神に従って明示的に示せるか？
• RQ5 $m_{\mathrm{diag}}(D)$ の上限が類数 $h$ や負のノルムの単数の存在にどのように依存するか？

主な発見

• 最小ランク $m_{\mathrm{diag}}(D)$ は、$\kappa = 2$（周期長が奇数のとき）または $\kappa = 1$（それ以外のとき）である場合、$\max\left(\frac{M_D}{\kappa s}, C_\varepsilon M^{*}_{D,\varepsilon}\right) \leq m_{\mathrm{diag}}(D) \leq 8M_D$ を満たす。
• $\sum_{i=1}^s u_i$ は、$D \to \infty$ のとき、$\sum_{i=1}^s u_i \sim \frac{\sqrt{\Delta}}{\zeta^{(\Delta)}(2)} \left( L(D) + \frac{1}{h} L(1,\chi_\Delta) \log\sqrt{D} \right)$ を満たし、誤差項 $O(D^{1/2 - 1/2000})$ を伴う。
• $M_D$ は絶対定数 $c > 0$ を用いて $c \sqrt{\Delta} (\log \Delta)^2$ で上から抑えられ、一般化リーマン予想のもとでは上界が $\ll \sqrt{D} \left(1 + \frac{\log D}{h} \right) (\log \log D)^2$ に改善される。
• 周期 $s$ が奇数（つまり $\mathcal{O}_K$ に負のノルムの単数が存在する）の場合、任意の $\varepsilon < 1/8$ に対して $M^{*}_{D,\varepsilon} \geq \sqrt{\Delta}$ が成り立ち、強い下限が得られる。
• $\sum_{i=1}^s u_i$ は $\frac{\sqrt{\Delta}}{\zeta^{(\Delta)}(2)} \left( L(D) + \frac{1}{h} L(1,\chi_\Delta) \log\sqrt{D} \right)$ に漸近的に等しく、連分数と $L$-値の間の深い関係を示している。
• 一般化リーマン予想のもとで、$M^{*}_{D,\varepsilon}$ の下限が強化され、$\sum u_i$ の漸近的増大度が $\gg \sqrt{D} \left(1 + \frac{\log D}{h \log \log D} \right)$ であることが示され、これはほとんどの $D$ に対して和が $\sqrt{D}$ より速く増大することを示している。