[論文レビュー] On the Recognition of Fan-Planar and Maximal Outer-Fan-Planar Graphs

Michael A. Bekos, Sabine Cornelsen+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、最大外部ファン平面的グラフを認識する多項式時間アルゴリズムを提示し、効率的な埋め込みを可能にする構造的特徴付けを提供する。また、回転系が固定された場合の一般ファン平面性のテストがNP困難であることを証明し、ファン平面性認識における tractable と intractable なケースの鋭い境界を確立する。

ABSTRACT

Fan-planar graphs were recently introduced as a generalization of 1-planar graphs. A graph is fan-planar if it can be embedded in the plane, such that each edge that is crossed more than once, is crossed by a bundle of two or more edges incident to a common vertex. A graph is outer-fan-planar if it has a fan-planar embedding in which every vertex is on the outer face. If, in addition, the insertion of an edge destroys its outer-fan-planarity, then it is maximal outer-fan-planar. In this paper, we present a polynomial-time algorithm to test whether a given graph is maximal outer-fan-planar. The algorithm can also be employed to produce an outer-fan-planar embedding, if one exists. On the negative side, we show that testing fan-planarity of a graph is NP-hard, for the case where the rotation system (i.e., the cyclic order of the edges around each vertex) is given.

研究の動機と目的

• 最大外部ファン平面的グラフを効率的に認識するためのアルゴリズムを開発すること。
• アルゴリズム的認識を可能にするために、最大外部ファン平面的グラフの構造的性質を特徴付けること。
• 回転系が与えられた場合のファン平面性認識の計算複雑性を調査すること。
• ファン平面性認識における tractable と intractable なケースの境界を探索すること。
• 非最大外部ファン平面的グラフに対する効率的認識の可能性を未解決のまま残すこと。

提案手法

• 頂点順序と辺挿入制約を含む、最大外部ファン平面的グラフの構造的性質に基づいた多項式時間アルゴリズムを設計する。
• 有効な外部ファン平面的埋め込みの構築を導くために、頂点の正規順序を利用する。
• 禁止される交差パターン II および III が外部ファン平面性では無関係であることに着目し、認識プロセスを単純化する。
• 3-Partition問題（3P）からの還元を用いて、回転系が固定された場合のファン平面性のNP困難性を証明する。
• リング、ビーム、横断路を含むグラフ構築法を定義し、ファン平面的図形内に3Pインスタンスをシミュレートする。
• 横断路が正確に必要な数の垂直辺を交差させることを保証し、ファン平面性および回転系制約を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大外部ファン平面的グラフは多項式時間で認識可能か？
• RQ2 最大外部ファン平面的グラフを効率的に認識可能にするために、どのような構造的性質が特徴付けられるか？
• RQ3 回転系が与えられた場合、一般ファン平面性認識問題はNP困難か？
• RQ4 3-Partition問題は、回転系が固定されたファン平面性認識インスタンスに還元可能か？
• RQ5 非最大外部ファン平面的グラフの認識の複雑性は何か？

主な発見

• 最大外部ファン平面的グラフを認識する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• そのアルゴリズムは、埋め込みが存在する場合にそれも生成できる。
• 回転系が入力として与えられた場合、ファン平面性認識問題はNP困難である。
• NP困難性の結果は、3-Partition問題からの還元によって確立される。
• 還元により、横断路が正確に3つの中央セルと (3m−3)K+B 個の垂直辺を交差するグラフが構築され、これは有効な3分割に対応する。
• ファン平面性の構造的制約により、各横断路が正確に3つの中央セルを通過することが強制され、3Pの解と一対一に対応する。