[論文レビュー] On the recurrence of some random walks in random environment

Nina Gantert, Michael Kochler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1次元の再帰的RWRE（特にシナモンのランダムウォーク）に対する新しいクエンチド帰還確率推定を導出し、多次元ランダム環境におけるランダムウォーク（RWRE）の再帰性を確立する。主な貢献は、同じ1次元再帰的環境にいるk個の独立したウォークが、ほとんど確実に原点で無限回交差することを証明することであり、直接積モデルにおいて、単純対称ランダムウォークよりも強化された再帰性が示される。

ABSTRACT

This work is motivated by the study of some two-dimensional random walks in random environment (RWRE) with transition probabilities independent of one coordinate of the walk. These are non-reversible models and can not be treated by electrical network techniques. The proof of the recurrence of such RWRE needs new estimates for quenched return probabilities of a one-dimensional recurrent RWRE. We obtained these estimates by constructing suitable valleys for the potential. They imply that k independent walkers in the same one-dimensional (recurrent) environment will meet in the origin infinitely often, for any k. We also consider direct products of one-dimensional recurrent RWRE with another RWRE or with a RW. We point out the that models involving one-dimensional recurrent RWRE are more recurrent than the corresponding models involving simple symmetric walk.

研究の動機と目的

• 1つの座標に依存しない遷移確率を有する多次元RWREの再帰性を確立すること。
• 一様楕円性およびゼロ平均対数密度の下で、1次元再帰的RWRE（シナモンのウォーク）に対する新しいクエンチド帰還確率推定を導出すること。
• 同じ1次元再帰的環境にいるk個の独立した粒子が、原点でほとんど確実に無限回交差することを示すこと。
• RWREに基づくモデルの再帰性特性を単純対称ランダムウォークに基づくものと比較すること。
• 1次元再帰的RWREを含むモデルが、それらの単純ランダムウォークの類似物よりもより強い再帰性を示すことを示すこと。

提案手法

• ポテンシャルの地形における適切なバレーを構築し、1次元再帰的RWREのクエンチド帰還確率を推定する。
• i.i.d.な確率変数 ωx ∈ (0,1) によって定義される環境依存遷移確率を用いる。ここで E[log ρ0] = 0 かつ Var(log ρ0) > 0 を満たす。
• 安定分布の吸引域に関する局所極限定理および結果を用い、2次元モデルにおける縦方向移動プロセスを分析する。
• α < 1 のとき ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞ および α > 0 のとき ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞ を分析する。
• カップリングの議論と縦方向移動プロセス Y2n の漸近的解析を用い、それが安定分布に分布収束することを示す。
• ナッシュ＝ウィリアムズの不等式を適用し、連続時間ジャンプ過程との比較を用いて帰還確率の挙動を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ1次元再帰的環境で独立に動くk個の粒子が、原点でほとんど確実に無限回交差するか？
• RQ2 与えられた仮定の下で、シナモンのウォークにおけるクエンチド帰還確率 Pω(X2n = 0) はどのように振る舞うか？
• RQ3 1つの座標において環境に依存しない遷移確率を有する2次元RWREの再帰性は、単純対称ランダムウォークに基づくモデルよりも強いのか？
• RQ4 クエンチド設定において、∑n Pω(X2n = 0) · n−α（α < 1）の漸近的挙動は何か？
• RQ5 2次元モデルにおける縦方向移動プロセス Y2n は、全ウォーク (Xn, Yn) の再帰性にどのように影響するか？

主な発見

• P-ほとんど確実な環境 ω に対して、すべての 0 ≤ α < 1 に対して ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞ が成り立つ。これは強いクエンチド帰還挙動を示す。
• すべての α > 0 に対して、P-ほとんど確実な ω に対して ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞ が成り立つ。これは帰還イベントの臨界レートでの持続性を確認する。
• 同じ1次元再帰的環境にいるk個の独立したウォークは、任意の k ∈ ℕ に対して、原点でほとんど確実に無限回交差する。
• 1つの成分がシナモンのウォークで、もう1つの成分が再帰的ランダムウォークである2次元モデルでは、P-ほとんど確実な環境に対して全ウォークは再帰的である。
• 1次元成分が単純対称ランダムウォークに置き換えられる場合、縦方向移動プロセスがβ < 2のβ安定分布の吸引域にあるならば、2次元ウォークは非再帰的になる。
• RWREのケースでは帰還確率の尾が重いため、2次元RWREモデルの再帰性は、単純ランダムウォークに基づくモデルよりも厳密に強い。