[論文レビュー] On the Refracted-Reflected Spectrally Negative Lévy Processes

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Probability and Risk Models参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、下位境界における反射と上位境界上での線形ドリフト減算（屈折）を組み合わせた、屈折・反射型スペクトル的に負の Lévy 过程を導入し、分析する。スケール関数を用いて、リゾルベント測度、滞在時間のラプラス変換、資本注入の期待純現在価値といった明示的なフラクチュエーション恒等式を導出する。これにより、資本注入と上限付き配当率を併せ持つ保険、キューイング、在庫管理システムへの応用を統合的に扱うフレームワークが提供される。

ABSTRACT

We study a combination of the refracted and reflected Lévy processes. Given a spectrally negative Lévy process and two boundaries, it is reflected at the lower boundary while, whenever it is above the upper boundary, a linear drift at a constant rate is subtracted from the increments of the process. Using the scale functions, we compute the resolvent measure, the Laplace transform of the occupation times as well as other fluctuation identities that will be useful in applied probability including insurance, queues, and inventory management.

研究の動機と目的

• 下位境界における反射と上位境界上での屈折（ドリフト減算）を組み合わせた新しい確率過程のモデル化と分析を行う。
• 資本注入（反射）と上限付き配当支払い（屈折）という二重制御機構を有する状況下で、スペクトル的に負の Lévy 過程におけるフラクチュエーション理論を拡張する。
• リゾルベント測度、滞在時間のラプラス変換、資本注入の期待純現在価値といった主要な数量について、明示的な表現を導出する。
• 保険および運用管理における最適制御問題、特に破産防止と配当最大化の両立を扱う理論的基盤を提供する。

提案手法

• 下位境界での反射と上位境界上での線形ドリフト減算を組み合わせた、スペクトル的に負の Lévy 過程のパスワイズな修正として、屈折・反射過程を構築する。
• スケール関数およびその性質を用いてフラクチュエーション恒等式を導出し、特にウィーナー＝ホプフ因数分解と関連恒等式を活用する。
• 負のジャンプと複数の領域が導入する複雑さに対処するため、スケール関数の表現を簡略化する新規の公式を構築する。
• 有界変動性の場合から無限変動性の場合への結果の拡張のために、Lévy 過程の弱収束に基づく近似スキームを用いる。
• 強マルコフ性とパス分解を用いて、三領域構造（屈折、反射、待機）を活用し、リゾルベント測度を導出する。
• 最初の通過時刻の理論と指数的チルティングを応用し、滞在時間のラプラス変換および資本注入の期待NPVを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的に負の Lévy 過程を、下位境界での反射と上位境界上での屈折（ドリフト減算）を組み合わせることでどのように変更可能か。また、その結果生じるパスの性質は何か。
• RQ2 この統合過程における明示的なフラクチュエーション恒等式（リゾルベント測度、滞在時間のラプラス変換など）は何か。
• RQ3 負のジャンプがこれらの恒等式の導出に与える影響は何か。また、スケール関数の恒等式を用いてそれらを簡略化できるか。
• RQ4 破産防止と上限付き配当支払いを併せ持つ保険モデルにおいて、資本注入の期待純現在価値は何か。
• RQ5 近似手法を用いて、有界変動性から無限変動性 Lévy 過程への理論枠組みの拡張は可能か。

主な発見

• リゾルベント測度はスケール関数とパス分解を用いて明示的に導出され、最初の通過時刻および退出時刻の計算が可能になる。
• 屈折レベル上の滞在時間のラプラス変換が閉形式で得られ、高水準領域での滞在時間の分析に有用なツールが提供される。
• スケール関数の恒等式を用いて、資本注入の期待純現在価値が計算され、その値がドリフト率 δ と屈折レベルに依存することが示される。
• スケール関数と Lévy 測度の積分に関する新しい恒等式が確立され、リゾルベント測度の表現を簡略化し、明示的計算を可能にする。
• Lévy 過程の弱収束に基づく近似スキームを用いて、有界変動性の場合の結果が無限変動性の場合へ拡張される。
• 本フレームワークは、特に資本注入と上限付き配当分配を併せ持つ最適制御問題を扱う保険および運用管理分野において、統合的かつ分析的ツールを提供する。