[論文レビュー] On the regularity of CR mappings between CR manifolds of hypersurface type

S. Berhanu, Ming Xiao|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超曲面型のLevi非退化CR多様体間のCR写像について、滑らかさおよび解析的正則性を確立する。$C^{N-n+1}$クラスのCR横断的写像が、$l \leq n$ かつ $N-l \leq n$ を満たすLevi形式の符号型を持つ標高多様体を対象とする場合、その稠密な開部分集合上で滑らかまたは実解析的であることを証明する。これらの結果は、古典的なシュバルツ反転原理を非強い擬凸性の設定に拡張し、符号型の鋭い制約を提示する。

ABSTRACT

We prove smooth and analytic versions of the classical Schwarz reflection principle for transversal CR mappings between two CR manifolds of hypersurface type.

研究の動機と目的

• 抽象的および埋め込み型CR多様体間のCR写像が滑らかまたは実解析的であるための十分条件を確立すること。
• 古典的なシュバルツ反転原理を非強い擬凸性の標高多様体に一般化し、そのために標高多様体に必要な符号型制約を同定すること。
• 従来の結果が適用されない、Levi非退化だが強い擬凸性でない標高多様体におけるCR写像の正則性問題を解決すること。
• 横断性と符号型条件が必要であることを、それらが満たされない場合に正則性が失敗する反例を用いて示すこと。

提案手法

• 著者たちは、写像の微分の$N-n+1$階までのランクに基づくジェット決定論法を用い、CRバンドルおよびLevi形式の構造を活用する。
• ソース多様体の強い擬凸性に依存して、横方向への複素化技術を適用し、CR関数のホロモルフィック拡張を実現する。
• 非退化点近傍でのホロモルフィック写像の構成に、複素化された設定における陰関数定理を鍵として用いる。
• 横方向変数の複素化の後、ホロモルフィック陰関数定理を用いて写像の実解析的または滑らかな拡張の存在に依拠する。
• 最大ランク点（$\mathrm{rank}_{N-n+1}(F,p) = N+1$）と低ランク点を区別し、滑らかさの点の稠密性を示すために逐次的議論を用いる。
• 符号型制約の必要性を示すために、$C^{k}$クラスのCR関数を強い擬凸多様体上で構成し、任意の非空開集合上で$C^\infty$でない例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面型のLevi非退化CR多様体間の$C^{N-n+1}$クラスのCR横断的写像が、稠密な開部分集合上で滑らかまたは実解析的であるための条件は何か？
• RQ2 古典的なシュバルツ反転原理は非強い擬凸性の標高多様体へ一般化可能か？ もしそうなら、そのために標高多様体に必要な符号型制約は何か？
• RQ3 正則性のための横断性仮定は必要か？ 仮定が満たされない場合、何が起こるか？
• RQ4 強い擬凸多様体上の$C^{k}$クラスのCR関数が、任意の非空開集合上で滑らかでないことはあり得るか？ その場合、写像の正則性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 標高多様体のLevi形式の符号型が、CR写像の正則性に果たす役割は何か？

主な発見

• 標高多様体$M^\prime$の符号型が$(l, N-l)$で$l \leq n$ かつ $N-l \leq n$ を満たし、$F$が$C^{N-n+1}$かつCR横断的である場合、$M$の稠密な開部分集合上で写像$F$は滑らかである。
• 同じ符号型および滑らかさ条件の下で、$M$および$M^\prime$が実解析的超曲面である場合、解析的バージョンの結果が成り立つ。
• 符号型仮定が鋭いことを示すために、$l > n$ または $N-l > n$ の場合、滑らかさの結論が成り立たない反例が構成される。
• 著者たちは、強い擬凸多様体上に$C^{k}$クラスのCR関数を構成し、その関数が任意の非空開集合上で$C^\infty$でないことを示し、符号型制約の必要性を裏付ける。
• これらの結果は、同じ条件下で$C^2$クラスのCR写像について有限ジェット決定性が成り立つことを示唆し、従来の$C^\infty$から$C^2$への拡張を実現する。
• 正則性の稠密な開集合は、$F$の微分の$N-n+1$階までのランクによって特徴づけられ、その点での非退化性から滑らかさが導かれる。