[論文レビュー] On the regularization of conservative maps

Artur Avila|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体上の $C^1$ 体積保存写像の空間において、$C^\infty$ 体積保存写像が $C^1$-稠密であることを確立し、力学系理論における長年の未解決問題を解決する。証明は、標準的な正則化手法の失敗を避けるために局所的で帰納的な接着手順を用いて滑らかな近似を構成する。この手順は、裸の手法と偏微分方程式にインspiredされたアイデアを組み合わせ、長距離依存性を回避する。

ABSTRACT

We show that smooth maps are $C^1$-dense among $C^1$ volume preserving maps.

研究の動機と目的

• $C^1$ 体積保存写像の $C^1$-位相において、$C^\infty$ 体積保存写像が稠密であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• $r>1$ の場合、Zehnder の研究以降、未解決のままであった $C^1$ 保存的写像の正則化定理を提供すること。
• 特に、ヤコビアン行列式の $C^0$ ノルムの制御が不十分であるために、$C^1$ 正則性において標準的な PDE に基づく正則化手法が失敗することを克服すること。
• 連続的な体積形式が必ずしも $C^1$-同値でないため、$C^1_{\operatorname{vol}}$ のカテゴリーが保存的力学系の正しい枠組みであることを確立すること。
• $C^1_{\operatorname{vol}}$ 構造が $C^\infty_{\operatorname{vol}}$ 構造と必ずしも整合しないこと、すなわち $C^1_{\operatorname{vol}}$ カテゴリーの必要性を強調すること。

提案手法

• セルの階層的・帰納的な手続きに基づき、セルのランクに従って、ネストされたセル族上に局所的 $C^\infty_{\operatorname{vol}}$ 写像を定義することで滑らかな近似を構成する。
• 局所的決定を保証するため、背景写像 $f$ を用いて構成プロセスにおける整合性と局所性を確保する。
• マップ $\lambda_x$、$H_x$、$s$ を用いたスケーリングと接着技術により、$x$-良い性質を持ち、重なり合うセル間で整合性を持つ $\tilde{h}_x$ を定義する。
• コロナリー4を適用して、局所写像を全セルに拡張し、体積保存性と $C^\infty$ 正則性を維持するとともに、$C^1$-ノルムを制御する。
• 多様体の三角形分割を用い、チャート内で局所的構成を適用することで、グローバルな近似を拡張する。
• 次第に次元が増加する単体ごとに段階的滑らか化を行うプロセスを実装し、以前に滑らかにされた領域の近くで写像を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^\infty$ 体積保存写像は、$C^1$ 体積保存写像によって $C^1$-近似可能か？
• RQ2 $r \geq 2$ の場合には機能するが、$C^1$ 場合では失敗する標準的な Dacorogna-Moser 手法の失敗理由は何か？
• RQ3 $C^1$ 多様体上のすべての連続的体積形式は、$C^1$-同値な滑らかな体積形式であるか？
• RQ4 保存的力学系の正しい設定は $C^1_{\operatorname{vol}}$ カテゴリーであるか、それとも $C^1$ に連続的体積形式を加えるのでは不十分か？
• RQ5 ストリングに流し込みや生成関数に依存せずに、$C^1$ 保存的写像の正則化定理を達成できるか？

主な発見

• 任意の $C^\infty$ 多様体上で、$C^\infty$ 体積保存写像の空間は、$C^1$ 体積保存写像の空間において $C^1$-稠密である。
• Burago-Kleiner および McMullen の反例により、$C^1$ 表面におけるすべての連続的体積形式が $C^1$-同値な滑らかなものでないことが示され、単純な正則化は無効である。
• $C^1_{\operatorname{vol}}$ 構造は、$C^\infty_{\operatorname{vol}}$ 構造と必ずしも整合しないが、より高い正則性では整合する。
• 本構成により、$\|\tilde{f} - f\|_{C^1}$ が至る所で小さくなり、かつ $\tilde{f} = f$ がコンact集合 $K_0$ の近傍で成り立つ。
• グローバルな近似は、次元が増加するセルの上に段階的帰納的プロセスを用いた三角形分割に基づく手続きにより達成され、局所的 $C^\infty_{\operatorname{vol}}$ 写像が滑らかにセル全体に拡張される。
• 本手法は、元の写像 $f$ に従う意思決定プロセスを用いて局所性を強制することで、離散化された PDE 手法の落とし穴を避ける。