[論文レビュー] On the regularized Siegel-Weil formula (the second term identity) and non-vanishing of theta lifts from orthogonal groups

Wee Teck Gan, Shuichiro Takeda|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、偶数正規化直交群の第二項範囲（$r+1 \leq m \leq 2r$）における正則化シーゲル＝ヴェイル公式に対して、弱第二項恒等式を確立し、ラルイス内積公式の構築を可能にする。$\mathrm{O}(V)$ 上の尖型自動形式的表現 $\pi$（$\dim V = m$）の $\mathrm{Sp}_{2r}$ へのグローバル・シータ・リフトが、不完全標準 $L$-関数 $L^S(s,\pi)$ が $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$ で消失しない場合に非消失することを、ある場所での自己双対性条件のもとで証明する。

ABSTRACT

We derive a (weak) second term identity for the regularized Siegel-Weil formula for the even orthogonal group, which is used to obtain a Rallis inner product formula in the "second term range". As an application, we show the following non-vanishing result of global theta lifts from orthogonal groups. Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of an orthogonal group $O(V)$ with $\dim V=m$ even and $r+1\leq m\leq 2r$. Assume further that there is a place $v$ such that $π_v\congπ_v\otimes\det$. Then the global theta lift of $π$ to $Sp_{2r}$ does not vanish up to twisting by automorphic determinant characters if the (incomplete) standard $L$-function $L^S(s,π)$ does not vanish at $s=1+\frac{2r-m}{2}$. Note that we impose no further condition on $V$ or $π$. We also show analogous non-vanishing results when $m > 2r$ (the "first term range") in terms of poles of $L^S(s,π)$ and consider the "lowest occurrence" conjecture of the theta lift from the orthogonal group.

研究の動機と目的

• 正則化シーゲル＝ヴェイル公式における第二項範囲（$r+1 \leq m \leq 2r$）における直交群の弱第二項恒等式を確立すること。
• 第二項恒等式を用いて、この範囲におけるラルイス内積公式を導出すること。
• 自己双対性条件と $L$-関数の非消失条件のもとで、直交群からシンプレクティック群へのグローバル・シータ・リフトの非消失を証明すること。
• 直交群からのシータ・リフトの「最低出現」予想を調査すること。

提案手法

• 正則化シータ積分の第一順位の特異項 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$ とシーゲル・エーゼンスタイン級数の定数項 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ の間の弱第二項恒等式を導出する。
• 臨界点 $s = \rho_r' = \frac{r+1}{2}$ および $s = \rho_{m,r} = \frac{2r - m + 1}{2}$ における正則化シータ積分 $\mathcal{E}^{(m,r)}(g,s;\varphi)$ とエーゼンスタイン級数 $E^{(m,m)}(g,s;\Phi_\varphi)$ のローラン展開を用いる。
• 内積公式を用いて、シータ・リフトの自動形式的内積を $L$-関数および局所ゼータ積分の特別値と関連付ける。
• 球的ベクトル $\varphi^0$ の $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-スパンに属するシュワーツ関数 $\varphi$ に限定し、弱形での第二項恒等式の成立を保証する。
• シータ・リフトの内積の非消失性を用いて、臨界点 $s = \rho_{m,r}$ における $L$-関数の非消失性を導出する。
• 第二項恒等式の予想的拡張を用いて、$L$-関数の極と零点を用いた、シータ・リフトの最低出現の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化シーゲル＝ヴェイル公式が第二項範囲（$r+1 \leq m \leq 2r$）における直交群に対して第二項恒等式を持つだろうか？
• RQ2 このような恒等式を用いて、ラルイス内積公式をこの第二項範囲に拡張できるだろうか？
• RQ3 尖型自動形式的表現 $\pi$ が $\mathrm{O}(V)$ 上にあり、$\mathrm{Sp}_{2r}$ へのグローバル・シータ・リフトが非消失する条件は何か？
• RQ4 標準 $L$-関数 $L^S(s,\pi)$ の極と零点は、シータ・リフトの最低出現にどのように関係するか？
• RQ5 弱第二項恒等式をすべてのシュワーツ関数に拡張することで、非消失結果を強化できるだろうか？

主な発見

• 球的ベクトルの $\mathrm{O}(\mathcal{V},\mathbb{A})$-スパンに属する $\varphi$ に対して、正則化シータ積分の第一順位特異項 $B_{-1}^{(m,r)}(\varphi)$ とエーゼンスタイン級数の定数項 $A_0^{(m,r)}(\varphi)$ の間の弱第二項恒等式が確立された。
• ある場所 $v$ で $\pi_v \cong \pi_v \otimes \det$ である自己双対性条件のもとで、$L^S(s,\pi)$ が $s = 1 + \frac{2r - m}{2}$ で消失しない場合に、$\pi$ の $\mathrm{Sp}_{2r}$ へのグローバル・シータ・リフトが非消失することを証明した。
• $m > 2r$ の場合、類似の非消失結果が $L^S(s,\pi)$ の極を用いて得られ、第一項範囲の解析を拡張した。
• 極の条件のもとで、シータ・リフトの最低出現 $\mathrm{LO}_\psi(\pi)$ の境界が得られた：$\frac{m}{2} - \operatorname{Pole}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - \operatorname{Pole}^S(\pi)$。
• 零点条件と自己双対性仮定のもとで、強い第二項恒等式の予想が成り立つと仮定すると、偶数 $m$ に対して境界 $\frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}(\pi) \leq \mathrm{LO}_\psi(\pi) \leq \frac{m}{2} - 1 + \operatorname{Zero}^S(\pi)$ が確立された。
• 証明は内積公式とシータ・リフトの内積の非消失性に依拠しており、臨界点 $s = \rho_{m,r}$ における $L$-関数の非消失性を示唆する。