[論文レビュー] On the Relationship between Thermodynamics and Special Relativity

Cristian Farías, Pablo S. Moya+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、相対論的運動量を含むようにエントロピー微分を拡張することにより、相対論的熱力学の枠組みを提案する。これにより、エントロピーのローレンツ不変性と熱力学の三法則との整合性が保証される。温度変換 $ T' = \gamma T $ および圧力変換 $ p' = \gamma^2 p $ が導かれる。これら変換のもとで理想気体の法則がローレンツ不変のままであることが示され、長年の相対論的熱力学における不整合が解消される。

ABSTRACT

Starting from a formulation for the $dS$ element that includes movement, and considering the variation of the entropy Lorentz invariant, we found the relativistic transformations for thermodynamic systems that satisfy the three laws of thermodynamics. Particularly, we found the temperature and pressure transformations, given by $T'=γT$ and $p'=γ^2p$ respectively. Furthermore, we show that this transformations keeps the form of the state equation for an ideal gas in agreement with the relativity principle.

研究の動機と目的

• 相対論的温度および圧力変換に関する長年の論争を解決すること。
• 熱力学の三法則をすべて満たす一貫した相対論的熱力学形式を構築すること。
• 理想気体の状態方程式がローレンツ変換に対して不変のままであることを保証すること。
• 学部レベルの熱力学および特殊相対性理論を用いた、教育的・直感的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 系の運動量 $ \mathbf{P} $ と相対速度 $ \mathbf{w} $ を含む相対論的補正項をエントロピー微分 $ dS $ に拡張し、$ dS = \frac{1}{T}dE + \frac{p}{T}dV - \frac{\mu}{T}dN - \frac{1}{T}\mathbf{w} \cdot d\mathbf{P} $ を得る。
• 全エネルギー $ E $、体積 $ V $、運動量 $ \mathbf{P} $、粒子数 $ N $ を広義変数とみなし、エントロピー $ S(E, V, \mathbf{P}, N) $ を定義する。
• 標準的な熱力学的定義に従い、偏微分を用いて強度変数を定義する。たとえば $ T = \left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)_{V,\mathbf{P},N} $ である。
• 広義変数に対するローレンツ変換を用いる：$ E' = \gamma E $, $ V' = V/\gamma $, $ \mathbf{P}' = \gamma \mathbf{P} $, $ N' = N $。
• フレーム間でのエントロピー微分の一貫性を要求することで、温度、圧力、化学ポテンシャルの変換則を導出する。
• 導出された変換のもとで、理想気体の状態方程式 $ pV = Nk_B T $ が不変のままであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エントロピーがローレンツスカラーであるという要請を満たすとき、温度の正しい相対論的変換は何か？
• RQ2 ローレンツブーストにおいて、熱力学的一致性を保つために圧力はどのように変換すべきか？
• RQ3 熱力学の三法則をすべて満たす相対論的熱力学形式を構築することは可能か？
• RQ4 導出された変換のもとで、理想気体の状態方程式はローレンツ不変のままであるか？
• RQ5 なぜ従来の提案（例：$ T' = \gamma^{-1}T $ や $ T' = T $）は熱力学的一致性を保てないのか？

主な発見

• 温度は $ T' = \gamma T $ と変換され、エントロピーがローレンツスカラーであることと、熱力学の三法則が保たれるという要請と整合的である。
• 圧力は $ p' = \gamma^2 p $ と変換され、これにより理想気体の法則がローレンツブーストのもとで不変のままであることが保証される。
• 化学ポテンシャルは $ \mu' = \gamma \mu $ と変換され、エネルギーの相対論的変換と整合的である。
• 理想気体の状態方程式 $ pV = Nk_B T $ は、導出された変換のもとでローレンツ不変であり、特殊相対性理論と整合的であることが確認された。
• $ \mathbf{w} \to 0 $ の極限において、形式は古典的熱力学に還元され、古典的熱力学と整合的であることが確認された。
• エントロピーのローレンツ不変性と熱力学的一致性を保つために、$ T' = \gamma T $ が唯一の妥当な変換であることが示され、エインシュタイン（$ T' = \gamma^{-1}T $）やオット（$ T' = \gamma T $）の以前の提案との矛盾が解消された。