[論文レビュー] On the relative quantum entanglement with respect to tensor product structure

Xulin Liu, C. P. Sun|ArXiv.org|Oct 29, 2004

Quantum Mechanics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間 W 上の自己準同型代数 End(W) のテンソル積分割（TPP）を導入することで、相対的量子もつれの厳密な数学的枠組みを確立する。TPPとテンソル積構造（TPS）の間の一意性定理を証明し、非素数次元のヒルベルト空間における任意の量子状態が、選択されたTPSに応じてもつれ状態にも分離状態にもなることを示す。これは、もつれが観測者によって定義される部分系分解に依存する相対的性を持つことを示している。

ABSTRACT

Mathematical foundation of the novel concept of quantum tensor product by Zanardi et al is rigorously established. The concept of relative quantum entanglement is naturally introduced and its meaning is made clear both mathematically and physically. For a finite or an infinite dimensional vector space $W$ the so called tensor product partition (TPP) is introduced on $End(W)$, the set of endmorphisms of $W$, and a natural correspondence is constructed between the set of TPP's of $End(W)$ and the set of tensor product structures (TPS's) of $W$. As a byproduct, it is shown that an arbitrarily given wave function belonging to an n-dimensional Hilbert space, $n$ being not a prime number, can be interpreted as a separable state with respect to some man-made TPS, and thus a quantum entangled state of a many-body system with respect to the "God-given" TPS can be regarded as a quantum state without entanglement in some sense. The concept of standard set of observables is also introduced to probe the underlying structure of the object TPP and to establish its connection with practical physical measurement.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間の異なるテンソル積構造（TPS）に関して、相対的量子もつれの概念を数学的に形式化すること。
• 観測可能代数や測定状況に関連するTPSの選択に依存することを示すことで、もつれの定義における曖昧さを解消すること。
• 有限次元を超えて無限次元ヒルベルト空間を含む一般化を保ちつつ、数学的厳密性を維持すること。
• 同一粒子系におけるもつれの物理的意味を、異なる観測量によって誘導される異なるTPSと結びつけることで明確化すること。
• 完全な観測量集合とTPSとの間の対応関係を確立し、もつれの相対性を測定可能な物理的構造に根ざしたものとする。

提案手法

• ベクトル空間 W 上の線形作用素代数 End(W) におけるテンソル積分割（TPP）の概念を導入し、W 上の潜在的TPSを符号化する手段とする。
• End(W) 上のTPPとW 上のTPSとの間に自然な全単射対応を構築し、作用素代数 A₁ と A₂ が一般化された意味で可換であるという代数的条件を用いる。
• W 上の内積構造とTPSとの間の整合性条件を定義し、分解がヒルベルト空間の幾何構造を尊重することを保証する。
• 標準的観測量集合の概念を用いて、TPP の背後にある代数的構造を調べ、物理的測定と結びつける。
• 次元制約を緩和することで、無限次元空間への応用を可能にし、結果が有限次元系に限らず成立することを示す。
• 明示的な構成によりもつれの相対性を示す：例えば、位置座標におけるTPSでは分離可能な状態が、重心座標と相対座標におけるTPSではもつれている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非素数次元のヒルベルト空間における与えられた量子状態が、選択されたテンソル積構造に応じてもつれ状態にも分離状態にもなる可能性は存在するか？
• RQ2 作用素代数の構造を通じて、量子もつれの相対性はどのように数学的に符号化されるか？
• RQ3 完全な観測量集合とヒルベルト空間上のテンソル積構造との間の正確な対応関係は何か？
• RQ4 End(W) のテンソル積分割（TPP）は、W 上の異なるTPSを分類・特徴付けるためにどのように用いられるか？
• RQ5 部分系分解の変更に対してもつれの概念がどの程度不変であり、それは同一粒子系における物理的解釈にどのように影響するか？

主な発見

• 合成次元 n（素数でない）をもつ n 次元ヒルベルト空間内の任意の量子状態は、人為的に選ばれたテンソル積構造（TPS）に関して分離可能であると示され、もつれが本質的性質でないことを証明する。
• End(W) のテンソル積分割（TPP）と W のテンソル積構造（TPS）との間の対応に関する一意性定理を確立し、以前の存在のみの結果を強化する。
• 明示的な構成により、状態 x₁x₂ が位置座標におけるTPSでは分離可能だが、重心座標と相対座標におけるTPSではもつれていることが示され、もつれの相対性を実証する。
• 理論は有限次元および無限次元ヒルベルト空間の両方に適用可能であり、次元制限なしにフレームワークが有効である。
• 標準的観測量集合の概念により、TPSの選択に物理的根拠が与えられ、数学的構造が測定可能な物理量と結びつく。
• もつれの相対性により、同一粒子系に関する文献における一見矛盾する議論が解消され、異なるもつれ定義はそれぞれ異なるTPSを暗黙に仮定していることが明らかになる。