[論文レビュー] On the relativistic theory of force-free particles with any spin

Markus Fierz, Guglielmo Pasa|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

1939年のこの論文は、任意の整数スピンまたは半整数スピンの力がかかる粒子に対する相対論的量子場理論を確立し、スピンが統計に与える影響を示している：整数スピンはボーズ＝アインシュタイン統計に従い、半整数スピンはフェルミ＝ディラック統計に従う。任意スピンに対する場の運動方程式、エネルギー運動量テンソル、電流ベクトルを導出し、電荷密度およびエネルギー密度がゲージ不変で正定値であるのはスピン0、1/2、1の場合に限ることを証明している。スピンがそれ以上に高次になると、局所的密度ではなく、全電荷および全エネルギーのみが定義可能であることが示されている。

ABSTRACT

In the free case, it is possible to define quantum fields which describe particles with integer or half-integer spin larger than one. It is shown that particles with integer spin must have Bose statistic and particles with half-integer-spin must follow Fermi-Dirac statistic. In the free case, the fields with spin smaller or equal to one are already well defined, so that for them alone, the charge and energy density are clearly identified and gauge invariant; while for the higher spin this is the case only for the total charge and total energy.

研究の動機と目的

• 外部力のない任意の固定された整数スピンまたは半整数スピンの粒子に対する相対論的量子場理論を構築すること。
• 相対論的に不変な枠組みの中でスピンと量子統計（ボーズまたはフェルミ＝ディラック）の関係を明確にすること。
• エネルギー密度および電荷密度がゲージ不変で正定値である条件を特定すること。
• ディラックの以前の定式化における曖昧さを解消し、任意スピンに対する一貫性のある場の運動方程式および交換関係を導出すること。
• スピン > 1 の場合、局所的密度ではなく全エネルギーおよび全電荷のみが定義可能である理由を示すこと。これは、場の成分が非可換であるためである。

提案手法

• スピン f が整数か半整数かに応じてテンソル形式またはスピン形式を用いて、任意スピンの相対論的場の運動方程式を構築する。
• 場の運動方程式からエネルギー運動量テンソルおよび電流ベクトルを導出し、ローレンツ共変性およびゲージ不変性を保証する。
• エネルギーの正定値性および場の交換関係の相対論的不変性の要請を適用して、各スピンに付随する統計（ボーズまたはフェルミ＝ディラック）を固定する。
• 平面波解を用いて独立な偏光状態の数を解析し、回転に対する変換性を調べる。
• ジョルダン＝パウリの量産化を適用して場演算子の交換関係を導出し、スピン3/2およびスピン2の明示的形を示す。
• 偏光状態を示すインデックス α および β を用いたスピン場の特別な表現を導入し、ローレンツブーストに対する変換性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力がかかる状況下で、任意スピンの粒子に対する一貫性のある相対論的量子場理論をどのように構築できるか？
• RQ2 なぜ整数スピンの粒子はボーズ＝アインシュタイン統計に従い、半整数スピンの粒子はフェルミ＝ディラック統計に従うのか？これは相対論的不変性およびエネルギーの正定値性に基づく。
• RQ3 任意スピンの場において、電荷密度およびエネルギー密度がゲージ不変で正定値である条件は何か？
• RQ4 なぜ高スピン場（f > 1）では局所的電荷密度およびエネルギー密度が定義されないのか？どのような量が依然として定義可能であるか？
• RQ5 スピン3/2およびスピン2の場の運動方程式および交換関係は、低スピンの場合とどのように異なり、物理的意味は何か？

主な発見

• 任意スピン f に対して、ローレンツ共変性および交換関係の相対論的不変性の要請によって、場の運動方程式は一意に定まる。
• エネルギーの正定値性および場の交換関係の相対論的不変性の結果、整数スピンの粒子はボーズ＝アインシュタイン統計に従い、半整数スピンの粒子はフェルミ＝ディラック統計に従う。
• スピン0、1/2、1の場合は、電荷密度およびエネルギー密度の両方がゲージ不変で正定値である。スピン > 1 の場合は、全電荷および全エネルギーのみが定義可能である。
• スピン > 1 の c-数理論において、異なる空間的点における電荷密度は非可換であり、その交換関係には D-関数の微分が含まれる。
• スピン3/2の場合、場の運動方程式は2つの結合されたスピン形式で表され、交換関係には運動量およびデルタ関数が含まれる。
• スピン2の場合、場の成分間の交換関係は、計量および D-関数を含む対称テンソル式で与えられ、トレースが 5D(x) を与えるように規格化されている。これは 2f+1=5 個の偏光状態に対応する。