[論文レビュー] On the relaxation of unbounded multiple integrals

Omar Anza Hafsa, Jean Philippe Mandallena|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非凸であり、無限大をとる可能性があるが、凸な有効定義域を持つ、ベクトリアルな変分法における有界でない多重積分の緩和関数の積分表現を確立する。測度論的局所化およびソボレフ空間における近似技法を用いて、滑らかな関数による近似に依存しないまま、緩和関数が準凸化を介して積分表現をもつことを証明する。

ABSTRACT

We study the relaxation of multiple integrals of the calculus of variations, where the integrands are nonconvex with convex effective domain and can take the value \infty. We use local techniques based on measure arguments to prove integral representation in Sobolev spaces of functions which are almost everywhere differentiable. Applications are given in the scalar case and in the case of integrands with quasiconvex growth and p(x)-growth.

研究の動機と目的

• 被積分関数が非凸であり、∞ をとる可能性がある場合に、緩和関数に対する積分表現の結果が不足しているという問題に取り組む。
• 滑らかまたは区分的アフィン関数による近似に依存しないことで、ラヴレントイェフ現象を回避する。
• 緩和関数がベクトル値の場合（m > 1）に、積分表現をもつための条件を確立する。
• 測度論的局所化および成長条件を用いて、従来のスカラーの場合の結果をベクトル値設定に拡張する。
• 有効定義域が凸であり、p > d における p-強制性を満たす状況下で、積分表現の枠組みを提供する。

提案手法

• 小さな立方体およびその被覆における被積分関数の挙動を分析するために、測度論的局所化技法を用いる。
• 測度が制御可能な一様な一様な立方体族を構成するため、バイトリ型被覆議論を適用する。
• 小さな集合における勾配の振動の最小エネルギー費用を定量化するための関数 ωδL(ξ) を用いる。
• コンパクトな台を持つ試験関数の下での最小エネルギーを表す mξ(Q) および m♯ξ(Q) の概念を導入する。
• 条件 (A4) を用いて、L(x,ξ) の平均の点での極限が有効定義域を特徴づけることを保証する。
• 強制性 (A1) および有界性 (A2) の仮定を、局所化議論と組み合わせることで、エネルギー積分の漸近的挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被積分関数が非凸であり、∞ をとる可能性がある場合に、有界でない多重積分の緩和関数が積分表現をもつための条件は何か？
• RQ2 滑らかまたは区分的アフィン関数による近似に依存せずに、積分表現を達成できるか？
• RQ3 被積分関数の有効定義域の凸性が、ベクトル値の場合の緩和プロセスにどのように影響するか？
• RQ4 有限性および正則性の仮定が欠如する状況下で、被積分関数の準凸化は果たす役割は何か？
• RQ5 測度論的局所化技法が、この文脈におけるラヴレントイェフ現象をどの程度解消できるか？

主な発見

• 与えられた仮定の下で、domF = {u ∈ W¹,p(Ω;ℝᵐ) : F(u) < ∞} 上で、緩和関数 F̅ は積分表現をもつ。
• 被積分関数 f(x,·) が非凸であり、∞ をとる可能性があっても、準凸化を介した積分表現が達成される。
• 主要結果 (8.7) は、lim supε→0 mξ(Qε(x))/εᵈ ≤ L(x,ξ) を示しており、緩和被積分関数の正しい点での挙動を保証する。
• C¹ または区分的アフィン関数による近似を必要としない測度に基づく局所化議論を用いることで、ラヴレントイェフ現象を回避する。
• 強制性条件 (A1) または (A2) により、コンパクト埋め込みが保証され、p ∈ ]d, ∞] に対して L∞ における弱収束と強収束が同値になる。
• (A3)、(A4)、および (A6) の組み合わせにより、有効定義域が適切に扱われ、緩和プロセスと整合的になる。