[論文レビュー] On the relevance of generalized disclinations in defect mechanics

Chiqun Zhang, Amit Acharya|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Composite Material Mechanics参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限変形力学における一般化済み歪みモーメント双極子と縁欠陥の物理的同等性を確立し、一般化済み歪みモーメント双極子のバーガースベクトルを導出し、一般化済み歪みモーメント強度がゼロとなる場合に変位ジャンプがカット面に依存しないことを証明する。Weingarten-gd定理を用いて変位ジャンプの明示的公式を導出し、歪み、欠陥、粒界を一つの枠組みで統一的に扱う。

ABSTRACT

The utility of the notion of generalized disclinations in materials science is discussed within the physical context of modeling interfacial and bulk line defects like defected grain and phase boundaries, dislocations and disclinations. The Burgers vector of a disclination dipole in linear elasticity is derived, clearly demonstrating the equivalence of its stress field to that of an edge dislocation. We also prove that the inverse deformation/displacement jump of a defect line is independent of the cut-surface when its g.disclination strength vanishes. An explicit formula for the displacement jump of a single localized composite defect line in terms of given g.disclination and dislocation strengths is deduced based on the Weingarten theorem for g.disclination theory (Weingarten-gd theorem) at finite deformation. The Burgers vector of a g.disclination dipole at finite deformation is also derived.

研究の動機と目的

• 有限変形における概念的・数学的複雑性のため、歪みモーメント概念を実用的な材料モデリングに採用する上での長年の障壁を克服すること。
• 非線形弾性理論における一般化済み歪みモーメント双極子と縁欠陥の厳密な関係を確立し、その応力場の同等性を示すこと。
• 一般化済み歪みモーメント強度がゼロとなる場合に、欠陥線の変位ジャンプがカット面の選択に依存しないことを証明し、位相的整合性を裏付けること。
• Weingarten-gd定理を一般化済み歪みモーメント運動学的観点から解釈し、指定された一般化済み歪みモーメント強度および欠陥強度から変位ジャンプを明示的に計算可能にする。
• 粒界、相界面、欠陥、歪みモーメントなどの界面および体積線欠陥を、一つの有限変形枠組みで統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 線形弾性論において一般化済み歪みモーメント双極子のバーガースベクトルを導出し、その応力場が縁欠陥と同一であることを示す。
• AF15に記載のWeingarten-gd定理を用いて、有限変形における局所的複合欠陥線の変位ジャンプを計算する。
• 閉曲線積分の定式化を用いて、発散なしの第三階テンソル場の標準積分として一般化済み歪みモーメント強度を定義する。
• 古典理論とは異なり、変位場の一次勾配がカット面を越えてジャンプを示す一般化された枠組みを導入する。
• 極座標を用いた明示的な代数的および座標変換を実行し、欠陥線に沿った経路積分を評価する。
• 応力場および変位場の閉形式表現を導出し、$ S^{*+}_{ij}, S^{*-}_{ij}, A^{*+}_{ij}, A^{*-}_{ij} $ の区分関数および経路積分 $ \boldsymbol{I}^+ $, $ \boldsymbol{I}^- $ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化済み歪みモーメント双極子の応力場は、線形弾性論における縁欠陥の応力場とどのように比較されるか？
• RQ2 一般化済み歪みモーメント理論において、変位ジャンプがカット面の選択に依存しない条件は何か？
• RQ3 有限変形における単一の一般化済み歪みモーメントの変位ジャンプの明示的公式は、その一般化済み歪みモーメント強度および欠陥強度を用いてどのように表されるか？
• RQ4 Weingarten-gd定理を一般化済み歪みモーメント運動学的観点からどのように解釈できるか？これにより、欠陥場の実用的計算がどのように可能になるか？
• RQ5 粒界および相界面は、一般化済み歪みモーメント理論を用いて、歪みモーメントおよび欠陥と同一の枠組みで一貫して記述可能か？

主な発見

• 線形弾性論における一般化済み歪みモーメント双極子のバーガースベクトルを導出し、その応力場が縁欠陥と同一であることを示した。
• 一般化済み歪みモーメント強度がゼロとなる場合、変位ジャンプはカット面の選択に依存せず、位相的頑健性が裏付けられた。
• 変位ジャンプ成分 $ I^+_{1}, I^+_{2}, I^-_{1}, I^-_{2} $ の明示的表現がそれぞれ $ x_0 \triangle^F_{11}, x_0 \triangle^F_{21}, -(x_0 - d) \triangle^F_{11}, -(x_0 - d) \triangle^F_{21} $ として導出された。
• 応力場成分 $ \boldsymbol{S}^{*+}, \boldsymbol{S}^{*-} $ は区分的形で導出され、半径 $ r_0 $ の内側および外側で有効な閉形式表現が得られ、$ r_+ $ および $ r_- $ を含む。
• 補助場 $ \boldsymbol{A}^{*+}, \boldsymbol{A}^{*-} $ は、半径距離および $ r_0 $ に依存する係数 $ C_1^+, C_2^+, C_1^-, C_2^- $ を用いて計算され、全場再構成が可能になった。
• 経路積分 $ \boldsymbol{I}^+ $ および $ \boldsymbol{I}^- $ は極座標変換を用いて評価され、正確な結果が得られ、一般化済み歪みモーメントモデルの物理的整合性が確認された。