[論文レビュー] On the short string limit of the folded spinning string in AdS5 x S5

Matteo Beccaria, A. Tirziu|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、AdS₅×S⁵における短いストリングの極限で、S⁵における小さなが非ゼロのスピンJを持つ折りたたみストリングの1ループ量子補正を計算している。J=0のときの先行研究を一般化したものである。固定されたu = J²/(S√λ)を用いた半古典的展開により、エネルギーはE ∝ λ¹⁴√S√(u+2)[h₀ + h₁S + ...]として与えられ、h₀およびh₁には古典的および1ループ補正が含まれる。1ループ係数の明示的表現として、a₀₁(u)=0およびa₁₁(u)=(41−8u(u−1)−32ζ(3))/(32(u+2))が得られている。この結果は、N=4 SYM理論のSL(2)セクターにおける短いオペレーターの異常次元に対する最初の補正項を提供する。

ABSTRACT

In this paper we generalize the results of arXiv:0806.4758 to non-zero value J of angular momentum in S^5. We compute the 1-loop correction to the energy of the folded spinning string in AdS_5 x S^5 in the particular limit of slow short string approximation. In this limit the string is moving in a near-flat central region of AdS_5 slowly rotating in both AdS_5 and S^5. The one-loop correction should represent the first subleading correction to strong coupling expansion of the anomalous dimension of short gauge theory operators of the form Tr D^S Z^J in the SL(2) sector.

研究の動機と目的

• AdS₅×S⁵における折りたたみストリングの1ループエネルギー補正について、S⁵における非ゼロの角運動量Jを含む場合に、以前のJ=0の結果を拡張すること。
• S≪√λおよびJ≪√λの短いストリングの極限を扱い、u=J²/(S√λ)を固定することで、有限サイズのゲージ理論オペレーターをモデル化すること。
• この一般化された短いストリング配置における、エネルギーの半古典的展開における最初の補正項（サブリーダー補正）を計算すること。
• ストリング理論の結果を、平面状のN=4 SYM理論のSL(2)セクターにおけるオペレーターTr(D⁺ˢΦᴶ)の異常次元と結びつけること。
• エネルギー展開における1ループ係数の明示的表現を提供すること。特に、uおよびζ(3)、ζ(5)定数への依存性を含むこと。

提案手法

• S≪√λおよびJ≪√λの下で、√λを大きなパラメータとみなして、ストリングエネルギーE(S,J,λ)の半古典的展開を用いる。u=J²/(S√λ)を固定する。
• エネルギーをE = λ¹⁴√S√(u+2)[h₀ + h₁S + h₂S² + ...]として展開し、hₙ = (1/√λ)ⁿ[aₙ₀(u) + aₙ₁(u)/√λ + ...]とすることで、古典的および1ループ項を体系的に計算可能にする。
• 古典的寄与は、E₀ = √(J² + 2S√(1+J²)) + ...という一次項エネルギー式から得られ、S, Jが小さい極限で簡略化される。
• 1ループ補正は、古典的ストリング解の周りにおける摂動行列式の詳細な解析により計算され、双曲線関数および三角関数を含む関数の contour 積分と留数技法が用いられる。
• 被積分関数f(ω)をf₀(ω)とf₁(ω)に分割し、f₁(ω)をω=0で正則かつ∞で減衰するように選ぶことで、contour 変形および留数定理の適用が可能になる。
• X⁽⁴ᵃ⁾、X⁽⁶ᵃ⁾などの特定の積分は、F₁(ω)の閉じた形および留数和を用いて評価され、ζ(3)、ζ(5)および有理数定数を含む結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S⁵におけるスピンSとS⁵における角運動量Jがともに小さいとき、AdS₅×S⁵における折りたたみストリングの1ループ量子補正エネルギーはどのように計算されるか？ただしu=J²/(S√λ)を固定する。
• RQ2 非ゼロのJを含めることで、以前に研究されたJ=0の場合と比較して、1ループエネルギー補正はどのように変化するか？
• RQ3 S≪√λおよびJ≪√λの下で、短いストリングの極限におけるエネルギー展開をSおよび1/√λのべき級数として体系的に整理できるか？1ループ次数での明示的係数は何か？
• RQ4 ストリングエネルギー補正と、N=4 SYM理論のSL(2)セクターにおける短いオペレーターTr(D⁺ˢΦᴶ)の異常次元との正確な関係は何か？
• RQ5 特殊関数およびゼータ関数（ζ(3)、ζ(5)）は、この一般化された短いストリング配置の1ループ補正においてどのように現れるか？

主な発見

• Sの1次項における1ループ補正は、h₁ = (1/√λ)[(2u+3)/(4(u+2)) + (41−8u(u−1)−32ζ(3))/(32(u+2)√λ) + ...]として与えられ、最初の1ループ係数a₁₁(u)が明示的に計算されている。
• 係数a₀₁(u)はゼロであり、1ループ補正がSが小さい極限における一次エネルギーに寄与しないことを示している。
• h₁項の1ループ補正には、uおよびリーマンゼータ関数ζ(3)への非自明な依存性があり、a₁₁(u) = (41−8u(u−1)−32ζ(3))/(32(u+2))として与えられる。
• h₂などの高次の項についても、1ループ係数a₂₁(u)が有理関数として導出されており、分子はA₀ + A₁u + A₂u² + A₃u³ + A₄u⁴、分母は32(u+2)²である。
• 1ループ積分の評価は、被積分関数を正則かつ減衰する部分に分割することで可能となり、contour 変形および留数和が用いられ、π、ζ(3)、ζ(5)の形で結果が得られる。
• X⁽⁴ᵃ⁾、X⁽⁶ᵃ⁾などの特定の積分は明示的に計算されており、X⁽⁴ᵃ⁾では∫dω f(ω) = π(−41/32 + ζ₃)、X⁽⁶⁰⁾ではπ(1343/1024 − 179ζ₃/192 − 5ζ₅/8)が得られ、複数の多重ゼータ値の出現が確認された。