[論文レビュー] On the size of Siegel disks with fixed multiplier for cubic polynomials

Arnaud Chéritat|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、固定された固定点の乗数λを用いて、三次多項式におけるシーゲル円板のサイズを調査する。線形化パarametrization の収束半径を分析することで、λを固定したもとで、シーゲル円板の半径を評価する。また、−log r と呼ばれるサブハーモニック関数を導入し、そのラプラシアン µλ が、中立的状況におけるZakeri曲線に類似した曲線上に台を持つ測度であることを示す。主な結果として、λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ) が有界型の無理数回転数λに近づくにつれて、µλₙ が µλ に弱-*収束することを証明する。

ABSTRACT

We study the slices of the parameter space of cubic polynomials where we fix the multiplier of a fixed point to some value $\lambda$. The main object of interest here is the radius of convergence of the linearizing parametrization. The opposite of its logarithm turns out to be a sub-harmonic function of the parameter whose Laplacian $\mu_\lambda$ is of particular interest. We relate its support to the Zakeri curve in the case the multiplier is neutral with a bounded type irrational rotation number. In the attracting case, we define and study an analogue of the Zakeri curve, using work of Petersen and Tan. In the parabolic case, we define an analogue using the notion of asymptotic size. We prove a convergence theorem of $\mu_{\lambda_n}$ to $\mu_\lambda$ for $\lambda_n= \exp(2\pi i p_n/q_nn)$ and $\lambda = \exp(2\pi i heta)$ where $ heta$ is a bounded type irrational and $p_n/q_n$ are its convergents.

研究の動機と目的

• 固定乗数をもつ三次多項式のパラメータ空間におけるシーゲル円板サイズの依存関係を分析すること。
• 吸引的および包合的状況におけるZakeri曲線の類似物を定義し、それらを研究すること。
• λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ) が有界型の無理数回転数λに近づくとき、測度 µλₙ が µλ に収束することを証明すること。
• −log r のラプラシアンの台が、臨界点の境界や退化した包合的点といった力学的構造とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 線形化パラメータ化 ψθ を用いて、シーゲル円板のコンformal半径 r を定義する。
• サブハーモニック関数 −log r とそのラプラシアン µλ = ∆(−log r) を導入し、全質量が 2π であることを示す。
• 吸引的状況では、Petersen-Tanの定理を用いて、µλ の台が両方の臨界点が U(P) の境界上にある点の集合 Zλ であることを示す。
• 中立的状況（有界型）では、µλ の台がZakeri曲線であることを証明する。
• 包合的状況では、漸近的サイズ L を定義し、−log L がサブハーモニックであり、そのラプラシアンが退化した固定点（すなわち、多すぎるペタルを持つ点）に台を持つことを示す。
• 連分数近似と歪み推定を適用し、収束項に沿って µλₙ が µλ に弱-*収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗数λを固定したもとで、シーゲル円板半径が最小化されるパラメータ空間の構造は何か？
• RQ2 測度 µλ = ∆(−log r) の台は、シーゲル円板の力学的境界やバナッハにどのように関係するか？
• RQ3 吸引的および包合的状況において、Zakeri曲線の類似物を定義できるか？
• RQ4 λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ) が有界型の無理数λに近づくとき、測度 µλₙ はどのように振る舞うか？
• RQ5 包合的状況における漸近的サイズ L の役割は何か？また、−log L のラプラシアンとはどのように関係するか？

主な発見

• 中立的状況で有界型回転数をとるとき、µλ = ∆(−log r) の台は正確にZakeri曲線に一致する。
• 吸引的状況では、µλ の台は両方の臨界点が線形化写像のディスクの像 U(P) の境界上にある点の集合 Zλ に一致する。
• 包合的状況では、−log L のラプラシアンは、固定点が退化している（すなわち、多すぎるペタルを持つ）パラメータにおけるディラック質量の和である。
• λₙ = exp(2πi pₙ/qₙ) が有界型の無理数λに近づくにつれて、測度 µλₙ は µλ に弱-*収束する。
• |c| ≥1 のとき、|fn,c(z) − Rθ(z)| は O(|pn/qn − θ| / d0(r⁻¹|z|)) で有界であり、これにより反復写像が一様収束する。
• lim supₙ→∞ sup|c|≥1 (un(c) − uθ(c)) ≤ 0 が確立され、サブハーモニック関数の収束が示される。