[論文レビュー] On the smoothness of normalisers and the subalgebra structure of modular Lie algebras

Sebastian Herpel, David I. Stewart|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正標数 $p$ の代数的群のリーリング代数の部分代数の正規化子が滑らかになる条件を、コhomologyの消滅と表現論的技法を用いて確立する。$G$ をランク $r$ の連結再帰的群とするとき、$G$ の最小の忠実表現の次元を $d$ とすると、$p > 2^{2d}$ ならば、$\\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ のすべての部分空間の正規化子が滑らかになることが示され、反例によりこの境界が鋭いことが確認されている。

ABSTRACT

We provide results on the smoothness of normalisers in connected reductive algebraic groups $G$ over fields $k$ of positive characteristic $p$. Specifically we we give bounds on $p$ which guarantee that normalisers of subalgebras of $\mathfrak{g}$ in $G$ are smooth, i.e.\ so that the Lie algebras of these normalisers coincide with the infinitesimal normalisers. One of our main tools is to exploit cohomology vanishing of small dimensional modules. Along the way, we obtain complete reducibility results for small dimensional modules in the spirit of similar results due to Jantzen, Guralnick, Serre and Bendel--Nakano--Pillen.

研究の動機と目的

• 正標数 $p$ におけるモジュラーリーリング代数の部分代数の正規化子が滑らかになる条件を特定すること。
• 正標数においてカルティエの定理が失敗する理由（例：$\mu_p$ や $\mathrm{SL}_p$ は再帰的だが非滑らか）を解明すること。
• 特に部分空間や連結再帰的部分群の正規化子の滑らかさを保証する $p$ の鋭い境界を確立すること。
• 正規化子の滑らかさと、小次元モジュールのコホモロジー消滅、完全可約性との関係を明らかにすること。
• フィボナッチ数とティルティングモジュールを用いた具体的な反例により、$p > 2^{2d}$ がおそらく最適であることを示すこと。

提案手法

• 正規化子の滑らかさを制御するための主要な道具として、小次元モジュールのコホモロジー消滅を用いる。
• シュタインバーグのテンソル積定理やティルティングモジュールの分解といった表現論的結果を応用し、リーリング代数作用を分析する。
• 群論的還元技術を用いて、再帰的部分群の正規化子の滑らかさを中心化子の滑らかさに還元する。
• 指数化とコキャラクターの持ち上げを用いて、リーリング理論的正規化子とスキーム理論的正規化子を関連付ける。
• ユニポテンツ部分群や冪零軌道を用いた具体的な反例を構成し、$p$ が小さすぎると滑らかさが失敗することを示す。
• パラボリック部分群とモジュール制限を用いて、$\\mathrm{GL}_n$ や $\\mathrm{SL}_n$ における正規化子の構造を分析し、非滑らかさを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結再帰的群 $G$ に対して、$\\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$ のすべての部分空間の正規化子が滑らかになるための素数 $p$ の条件は何か？
• RQ2 すべてのリーリング代数の部分代数に対して、正規化子の滑らかさを一様に保証できるか？そのために必要な $p$ の境界は何か？
• RQ3 正標数においてなぜ正規化子が滑らかでなくなるのか？トーラスをリーリング理論的正規化子からスキーム理論的正規化子に持ち上げるのを妨げる構造的障害は何か？
• RQ4 小次元モジュールのコホモロジー消滅が、完全可約性および正規化子の滑らかさをどれほど示唆するのか？
• RQ5 境界 $p > 2^{2d}$ はどれほど鋭いか？改善可能か、あるいは最適であるか？

主な発見

• 任意のランク $r$ の連結再帰的群 $G$ に対して、$G$ の最小の忠実表現の次元を $d$ とすると、$p > 2^{2d}$ ならば、$\\mathfrak{g}$ のすべての部分空間の正規化子が滑らかになる。
• 特に $G = \mathrm{GL}_n$ の場合、境界は $p > 2^{2n}$ に簡略化され、これによりすべての正規化子の滑らかさが保証される。
• $p$ が $n$ 番目のフィボナッチ数 $F_n$ を割る場合に反例が存在することから、$p > 2^{2d}$ がおそらく最適であることが示された。$F_n \sim 1.6^n$ は指数関数的に増加する。
• 特に $G = \mathrm{GL}_n$ の場合、$p < 2n - 1$ では正規化子の滑らかさが失敗する。これは $\\mathrm{SL}_2$-モジュールと非滑らかな安定化子をもつティルティングモジュールを用いた構成により示された。
• Lie理論的正規化子が $\\mathfrak{h} = \mathfrak{sl}_2$ を含むが、スキーム理論的正規化子が対応する群 $H = \mathrm{SL}_2$ を含まない場合、部分空間 $M$ の正規化子は滑らかでなくなる。これは $\\mathrm{Ext}^1$ の非自明な拡張に起因する。
• 正規化子が冪零元で生成されていても、$p \leq 2n - 1$ のとき滑らかさが失敗することが例示され、定理B(ii)の境界を改善できないことが証明された。