[論文レビュー] On the solution of the massless Thirring model with fermion fields quantized in the chiral symmetric phase

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Dec 19, 2001

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、フェルミオンをチャーミカル対称性の相で量論化した質量ゼロのシルティング模型を再検討し、クライベルの演算子形式における矛盾——特に標準的でないパリティ性質と赤外発散——を特定する。非摂動的正則化によりこれらの発散を紫外領域に移動させることができることを示し、双対的なサイン＝ゴルドン模型が漸近的自由性を持たず、完全に非摂動的に正則化可能であることを示している。

ABSTRACT

Correlation functions of fermionic fields described by the massless Thirring model are analysed within the operator formalism developed by Klaiber and the path-integral approach with massless fermions quantized in the chiral symmetric phase. We notice that Klaiber's composite fermion operators possess non-standard properties under parity transformations and construct operators with standard parity properties. We find that Klaiber's parameterization of a one-parameter family of solutions of the massless Thirring model is not well defined, since it is not consistent with the requirement of chiral symmetry. We show that the dynamical dimensions of correlation functions depend on an arbitrary parameter induced by ambiguities of the evaluation of the chiral Jacobian. A non-perturbative renormalization of the massless Thirring model is discussed. We demonstrate that the infrared divergences of Klaiber's correlation functions can be transferred into ultra-violet divergences by renormalization of the wave function of fermionic fields. This makes Klaiber's correlation functions non-singular in the infrared limit. We show that the requirement of non-perturbative renormalizability of the massless Thirring model fixes a free parameter of the path-integral approach. In turn, the operator formalism is inconsistent with non-perturbative renormalizability of the massless Thirring model. We carry out a non-perturbative renormalization of the sine-Gordon model and show that it is not an asymptotically free theory as well as the massless Thirring model. We calculate the fermion condensate by using the Fourier transform of the two-point Green function of massless Thirring fermion fields quantized in the chiral symmetric phase.

研究の動機と目的

• クライベルの質量ゼロのシルティング模型の解法における一貫性の欠如、特に複合フェルミオン演算子のパリティ変換性質に関する問題を解決すること。
• クライベルの相関関数における赤外発散の問題に取り組み、非摂動的波動関数正則化によってその発散を除去すること。
• チャーミカル対称性の相における質量ゼロのシルティング模型の整合的な経路積分形式を確立し、非摂動的正則化によって自由パラメータを固定すること。
• 双対的なサイン＝ゴルドン模型が漸近的自由でないことを示し、完全に非摂動的に正則化可能であり、正則化後に発散が残らないことの証明。
• チャーミカル対称性の相における2点グリーン関数のフーリエ変換を用いてフェルミオン凝集体を計算すること。

提案手法

• クライベルの演算子形式と経路積分的手法を用い、チャーミカル対称性を伴う質量ゼロのシルティング模型における相関関数を分析する。
• クライベルの複合フェルミオン演算子が標準的なパリティ変換則に違反していることを特定し、標準的なパリティ性質を持つ新たな演算子を構築する。
• 非摂動的波動関数正則化を適用して、クライベルの赤外発散を紫外発散に転送し、相関関数が赤外領域で有限になるようにする。
• 有限なスケール $M$ と正則化された結合定数 $ar{eta}$ を用いた経路積分的手法により、サイン＝ゴルドン模型の生成関数を導出する。これにより紫外カットオフ $ar{eta}$ への依存性が除去される。
• 次元正則化または解析的正則化を適用し、因果的グリーン関数 $ riangle(0;M) = 0$ を満たすようにすることで、相関関数の発散を除去する。
• サイン＝ゴルドン模型とシルティング模型の関係を用いて、サイン＝ゴルドン模型が漸近的自由でないことを示し、完全に非摂動的に正則化可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜクライベルの複合フェルミオン演算子は、質量ゼロのシルティング模型におけるチャーミカル対称性と標準的パリティ変換則に整合しないのか？
• RQ2 クライベルの相関関数における赤外発散は、非摂動的正則化によって除去可能か？もし可能であれば、その方法は何か？
• RQ3 チャーミカルヤコビアンのあいまいさは、質量ゼロのシルティング模型における相関関数の動的次元を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 双対的なサイン＝ゴルドン模型（質量ゼロのシルティング模型と双対）は非摂動的に正則化可能か？また、漸近的自由性を示すか？
• RQ5 質量ゼロのシルティング模型のチャーミカル対称性の相における2点グリーン関数のフーリエ変換から、フェルミオン凝集体はどのようにして生じるのか？

主な発見

• クライベルの1パラメータ族の解法パrameter化はチャーミカル対称性に整合せず、したがってチャーミカル対称性の相では適切に定義されていない。
• 相関関数の動的次元は、チャーミカルヤコビアンを評価する際のあいまいさに起因する任意のパラメータに依存する。
• 非摂動的波動関数正則化により、クライベルの赤外発散が紫外発散にうまく移動され、相関関数が赤外極限で有限になることが確認された。
• 非摂動的正則化の要請により、経路積分手法における自由パラメータが固定されるが、演算子形式はこの条件と整合しない。
• サイン＝ゴルドン模型は完全に非摂動的に正則化可能であり、正則化後に紫外カットオフに依存しない生成関数を持つ。正則化後、発散は残らない。
• サイン＝ゴルドン模型は漸近的自由でない。これは結合定数 $ar{eta}$ が正則化不能であるため、ゲルマン＝ロウの $eta$-関数が消えることによるが、これは摂動的期待とは矛盾する。