[論文レビュー] On the Space of Generalized Connections

Maria Cristina Abbati, Alessandro Manià|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2001

Advanced Algebra and Logic被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、トーラス群 G へのホロノミー写像によって特定される一般化接続の空間において、滑らかな接続の稠密性を確立する。これは自明および非自明なバンドルの両方において成り立つ。滑らかな接続の空間が、ホロノミー写像を通じて特定される一般化接続の空間に稠密であることを示す。また、円周上のループ群の同型写像の空間を内自己同型で割った空間において、接続の空間がモジュラー化されたゲージ変換のもとで稠密であることを示す。さらに、円周的およびホロノミー代数を導入し、それらのスペクトルを分析する。

ABSTRACT

Abstract. Connections on a trivial bundle M × G can be identified with their holonomy maps, i.e. homomorphisms into G of the groupoid Path(M) of piecewise smooth paths in M. We prove that the set A of the smooth connections is dense in the space Hom(Path(M),G) for any connected compact gauge group G and that the space of connections up to gauge transformations is dense in Hom(Loop⋆(M), G)/AdG, where Loop⋆(M) is the group of piecewise smooth loops. We introduce cylindrical and holonomy algebras and discuss their spectrum. We obtain analogous results in the case of non trivial bundles.

研究の動機と目的

• ホロノミー写像によって定義される一般化接続の空間における滑らかな接続の稠密性を確立すること。
• 接続の空間をゲージ変換で割った商空間への稠密性結果を拡張すること。
• 一般化接続の文脈において、円周的およびホロノミー代数を導入し、それらを分析すること。
• 自明なバンドルからの結果を非自明な主バンドルへ一般化すること。

提案手法

• 滑らかなパスの群コホーショングループ Path(M) からゲージ群 G への同型写像として、自明なバンドル M × G 上の接続を表現する。
• ホロノミー写像を用いて、滑らかな接続を Hom(Path(M), G) の要素と特定する。
• 位相的議論を適用して、連結でコンパクトな G に対して、滑らかな接続が Hom(Path(M), G) に稠密であることを示す。
• ゲージ同値性を考慮することで商空間への拡張を行い、Hom(Loop⋆(M), G)/AdG において稠密であることを証明する。
• 有限個のホロノミーに依存する関数の代数として、円周的代数を導入する。
• 円周的代数の閉包としてホロノミー代数を定義し、ゲルファンド双対性を用いてそのスペクトルを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミー写像によって特定される一般化接続の空間において、滑らかな接続の空間は稠密か？
• RQ2 ゲージ変換で割った接続の空間は、基点付きループ群の同型写像の空間を内自己同型で割った空間においても稠密か？
• RQ3 円周的およびホロノミー代数はどのように構成され、そのスペクトル構造は何か？
• RQ4 自明なバンドルにおける結果を非自明な主バンドルへ拡張できるか？

主な発見

• 任意の連結でコンパクトなゲージ群 G に対して、滑らかな接続の空間は Hom(Path(M), G) に稠密である。
• ゲージ変換で割った接続の空間は、Hom(Loop⋆(M), G)/AdG に稠密である。
• 円周的代数は、有限個のホロノミーに依存する一般化接続の空間上の関数の代数として適切に定義される。
• 円周的代数の閉包として定義されるホロノミー代数は、そのスペクトルが一般化接続の空間に対応する。
• ホロノミー代数のスペクトル解析により、古典的なゲルファンド＝ナイマーク双対性の非アーベル的一般化が得られる。
• 結果は非自明な主バンドルへ拡張可能であり、適切な修正を施せば稠密性の性質が保たれる。