[論文レビュー] On the spectral characterization of entire operators with deficiency indices (1,1)

Luis O. Silva, Julio H. Toloza|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 deficiency indices (1,1) を持つ全関数的作用素および一般化された意味での全関数的作用素のスペクトル的特徴付けを、2つの自己共役拡大のスペクトルを分析することによって提供する。主な結果は、このような作用素が全関数的であるための必要十分条件が、2つの自己共役拡大のスペクトルが、固有値の逆数およびスペクトルデータを含む級数の収束を含む特定の収束および積条件を満たすことであることを示している。

ABSTRACT

For entire operators and entire operators in the generalized sense, we provide characterizations based on the spectra of their selfadjoint extensions. In order to obtain these spectral characterizations, we discuss the representation of a simple, regular, closed symmetric operator with deficiency indices (1,1) as a multiplication operator in a certain de Branges space.

研究の動機と目的

• deficiency indices (1,1) を持つ対称作用素が全関数的であるための必要十分スペクトル的条件を提供すること。
• de Branges 空間理論を用いて、一般化された意味での全関数的作用素へのスペクトル的特徴付けの拡張を行うこと。
• de Branges 空間に関数 1 が属するための既知の条件を、特定の自己共役拡大ではなく任意の自己共役拡大を用いて再定式化すること。
• 全関数的作用素の性質とその自己共役拡大のスペクトル構造との間のスペクトル的関係を確立すること。
• 逆スペクトル問題にかかわる対称作用素に関して、スペクトル理論と de Branges 空間理論を結びつけること。

提案手法

• deficiency indices (1,1) を持つ単純で正則かつ閉じた対称作用素を、de Branges 空間における乗法作用素として表現すること。
• Lemma 3.4 を用いて、de Branges 空間のスペクトル的条件を、特定の自己共役拡大ではなく任意の2つの自己共役拡大を用いて再定式化すること。
• 固有値にゼロが含まれる場合の調整を加えた、自己共役拡大 $ A_{\beta} $ のスペクトルから全関数 $ h_{\beta}(z) $ を定義すること。
• 級数 $ \sum_{n \in \mathbb{N}} \left| \frac{1}{h_0(x_n) h_\gamma'(x_n)} \right| $ の収束条件を、主要なスペクトル的基準として定式化すること。
• de Branges 空間の理論を応用し、定数関数 1 が空間に属するかどうかを、自己共役拡大のスペクトルデータに関連付けること。
• 第一の予解恒等式および $ \mathcal{H}_{-} $ と関連する汎関数を用いた双対性の議論を用いて、全関数的作用素の性質を特徴付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 deficiency indices (1,1) を持つ対称作用素の2つの自己共役拡大に課されるスペクトル的条件は何か？ その条件が、作用素が全関数的であるための必要十分条件となる。
• RQ2 de Branges 空間が定数関数 1 を含むためのスペクトル的条件を、特定の自己共役拡大ではなく任意の自己共役拡大を用いてどのように再定式化できるか？
• RQ3 全関数的作用素の性質と、固有値およびそれらに付随する関数を含むスペクトル級数の収束との関係は何か？
• RQ4 一般化された意味での全関数的作用素の概念は、de Branges 空間に零点を持たない全関数が存在することとどのように関係するか？
• RQ5 全関数的作用素のスペクトル的特徴付けを、より大きな双対空間 $ \mathcal{H}_{-} $ における一般化されたゲージを許容する作用素に拡張できるか？

主な発見

• 作用素 $ A \in \text{Sym}^{(1,1)}_{\text{R}}({\cal H}) $ が全関数的であるための必要十分条件は、2つの自己共役拡大 $ A_0 $ と $ A_\gamma $ のスペクトルが次の3条件を満たすことである： (1) $ \lim_{r\to\infty} \sum_{0<|x_n|\leq r} \frac{1}{x_n} $ の極限が存在すること、(2) $ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{x_n^+} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{x_n^-} < \infty $ であること、(3) 級数 $ \sum_{n\in\mathbb{N}} \left| \frac{1}{h_0(x_n) h_\gamma'(x_n)} \right| $ が収束すること。
• $ A_\beta $ のスペクトルから構成された関数 $ h_\beta(z) $ は全関数であり、固有値を用いた無限積によってスペクトルデータを符号化している。
• $ h_0(x_n) $ と $ h_\gamma'(x_n) $ を含む級数の収束は、de Branges 空間における関連する汎関数が適切に定義されかつ消えないことを保証する。
• 全関数的作用素の性質は、Proposition 5.3 を用いて、関連する de Branges 空間に実係数で零点を持たない全関数が存在することと同値であることが示された。
• 一般化された全関数的作用素の概念は、ゲージが $ \mathcal{H} $ に属する必要はなく、$ \mathcal{H}_{-} $ の汎関数であることを許容することで、古典的定義を拡張している。スペクトル的条件もそれに合わせて調整されている。
• 本結果は、スペクトル逆問題の枠組みを提供する： 上記の条件を満たす2つのスペクトルが与えられれば、それらからユニタリ同倣を除いて全関数的作用素を再構成できる。