[論文レビュー] On the spectral moment of trees with given degree sequences

Li Shuchao, Yibing Song|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2012

Graph theory and applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、与えられた次数列を持つすべての木の中で、スペクトルモーメントに基づくS順序における最後の木を特定し、幅優先探索と次数列の順序付けによって一意に構成される木T*が、S順序において最大元であることを証明する。この結果は、最大次数、独立数、マッチング数が固定された木に対しても拡張され、これらのクラスに対してもT*がS順序における最後の木であることが同定される。

ABSTRACT

Let $A(G)$ be the adjacency matrix of graph $G$ with eigenvalues $λ_1(G), λ_2(G),..., λ_n(G)$ in non-increasing order. The number $S_k(G):=\sum_{i=1}^{n}λ_i^{k}(G)\, (k=0, 1,..., n-1)$ is called the $k$th spectral moment of $G$. Let $S(G) = (S_0(G), S_1(G),..., S_{n-1}(G))$ be the sequence of spectral moments of $G.$ For two graphs $G_1, G_2$, we have $G_1\prec_{s}G_2$ if for some $k \in \{1,2,3,...,n-1\}$, we have $S_i(G_1) = S_i(G_2)\, ,\, i = 0, 1,..., k-1$ and $S_k(G_1)

研究の動機と目的

• 指定された次数列を持つすべての木の中で、S順序における最後の木を特徴づけること。
• この特徴づけを、最大次数が固定された木、独立数が固定された木、マッチング数が固定された木へと拡張すること。
• 次数制約の下でスペクトルモーメントを最大化する一意の木T*を特定すること。
• 次数列の順序付けと幅優先レイヤリングを用いた構成的手法により、S順序における極値木を同定する方法を提供すること。

提案手法

• スペクトルモーメントS_k(G) = ∑λ_i^k(G)（λ_iは隣接行列の固有値）の辞書的比較を用いてS順序を定義する。
• スペクトルモーメントの恒等式を用いる：S_4(G) = 2ϕ(P₂) + 4ϕ(P₃) + 8ϕ(C₄)，S_5(G) = 30ϕ(C₃) + 10ϕ(U₄) + 10ϕ(C₅)，S_6, S_8を経路および特定の部分グラフの数で表す。
• 次数列πから幅優先探索を用いて標準木T*を構成し、初期レイヤーでの次数分布が最大になるように保証する。
• π ≺ π*を示すことにより、T*が次数列πを持つ木の中でスペクトルモーメントがS順序で最大である唯一の木であることを証明する。
• ϕ_P₄(T₁) < ϕ_P₄(T₂) ならば k ≥ 6 に対して S_k(T₁) < S_k(T₂) であるという事実を用い、部分グラフ数のカウントを応用してスペクトルモーメントを比較する。
• 次数列の優越性π ≺ π*を用いて、T*が同じ次数クラスに属するすべての木よりも支配的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた次数列を持つすべての木の中で、S順序における最後の木は何か？
• RQ2 最大次数が固定された木に対して、S順序における極値木はどのように構成できるか？
• RQ3 同じ木T*は、独立数が固定された木やマッチング数が固定された木に対しても、S順序における最後の木として機能するか？
• RQ4 木において、スペクトルモーメントの比較を部分グラフ数のカウントに還元できるか？
• RQ5 次数列の制約の下で、スペクトルモーメントを最大化する一意の木が存在するか？

主な発見

• 次数列πから幅優先探索によって構成される一意の木T*は、同じ次数列を持つすべての木の中でS順序における最後の木である。
• 最大次数Δが固定された木に対しては、S順序における最後の木は、次数分布の均一性を最大化するようにレイヤーに頂点を配置したT*（次数列π*により定義）である。
• 独立数αが固定された木においては、S順序における最後の木は、次数列(α, 2, ..., 2, 1, ..., 1)を持つT*であり、ここで次数1の頂点がα個、次数2の頂点がn−α−1個存在する。
• マッチング数βが固定された木においては、S順序における最後の木は、次数列(n−β, 2, ..., 2, 1, ..., 1)を持つT*であり、ここで次数1の頂点がn−β個存在する。
• スペクトルモーメントの差分S_6(T₁)−S_6(T₂) = 6(ϕ_P₄(T₁)−ϕ_P₄(T₂)) および S_8(T₁)−S_8(T₂) = 32(ϕ_P₄(T₁)−ϕ_P₄(T₂)) + 8(ϕ_P₅(T₁)−ϕ_P₅(T₂)) + 16(ϕ_B₅(T₁)−ϕ_B₅(T₂)) は、木の比較に鍵となる。
• T*の次数列π*は、同じクラスに属するすべての次数列を優越するため、T*がS順序において最大であることが保証される。