[論文レビュー] On the stochastic nonlinear Schrödinger equations with non-smooth additive noise

Tadahiro Oh, Oana Pocovnicu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分散推定とストリコールツ型空間における新規な収縮論法を用いて、滑らかでない加法的ノイズを伴う確率的非線形シュレーディンガー方程式の局所的well-posednessを確立する。従来の知られていたものよりも滑らかでない関数空間において解の存在と一意性を示し、初期データの確率的化と確率的ストリコールツ推定を用いて、より低い正則性における確率的畳み込みのwell-posednessを拡張する。

ABSTRACT

We study the stochastic nonlinear Schrödinger equations with additive stochastic forcing. By using the dispersive estimate, we present a simple argument, constructing a unique local-in-time solution with rougher stochastic forcing than those considered in the literature.

研究の動機と目的

• 従来の研究で検討されたよりも滑らかでない加法的ノイズに対して、確率的非線形シュレーディンガー方程式（SNLS）のwell-posedness理論を拡張すること。
• 分散推定と簡略化された論法を用いて、滑らかでないノイズを伴うSNLSの時間局所的解を一意に構成すること。
• 初期データのウィエナー確率的化と確率的ストリコールツ推定を用いることで、ノイズ作用素 $\phi$ の正則性要件を緩和すること。
• 特にエネルギー下臨界およびエネルギー上臨界な状況において、$H^s$-型空間でも、確率的畳み込み $\Psi$ が低正則性であってもwell-posednessを確立すること。

提案手法

• ストリコールツノルムにおける線形伝搬作用素の制御のため、分散推定 $\|S(t)\phi\|_{L^q_t L^r_x} \lesssim \|\phi\|_{L^2_x}$ を用いる。
• 初期データ $u_0^\omega$ のウィエナー確率的化を適用し、可積分性を向上させ、滑らかでない関数空間でも収縮を可能にする。
• 解をストリクチュア型積分形式（ダランベールの原理）により定義し、確率的畳み込み $\Psi = -i\int_0^t S(t-t')\phi \xi(dt')$ を用いる。
• 確率的ストリコールツ推定を用いて、$S(t)u_0^\omega$ および $\Psi$ がほとんど確実に適切な $L^q_T W^{s,r}_x$ 空間に属することを示す。
• 非線形項 $\mathcal{N}(v+\Psi) = |v+\Psi|^{p-1}(v+\Psi)$ の $L^{p+1}_x$-型ノルムにおける推定に、ヤングの不等式とソボレフ埋め込みを適用する。
• 時間区間 $T = T_\omega > 0$ を十分小さくとり、$T^\theta$ 要素の小ささに依存する収縮論法を $C_T W^{s,r}_x$ で用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の研究で検討されたものよりも滑らかでないノイズ、例えば $\phi \in \text{HS}(L^2; H^s)$ で $s < 1$ の場合に対しても、加法的ノイズを伴うSNLSの局所的well-posednessを確立できるか？
• RQ2 確率的畳み込みが正則性を欠く場合でも、初期データのウィエナー確率的化が、滑らかでない関数空間における解の構成を単純化できるか？
• RQ3 完全なストリコールツ推定に依存せずに、分散推定のみで滑らかでないノイズの存在下でも局所的well-posednessを証明できるか？
• RQ4 $H^s$-型空間における局所解の存在と一意性を保証するための、確率的畳み込み $\Psi$ の最小正則性は何か？
• RQ5 ノイズの確率的構造は、特にエネルギー上臨界な状況において、well-posednessの閾値にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、$s \geq \max(s_{\text{crit}}, 0)$ の条件下で、$\mathbb{R}^d$ 上の $H^s(\mathbb{R}^d)$ において、滑らかでないノイズを伴うSNLSの局所的well-posednessを証明する。これは、従来よりも滑らかでないノイズに対しても成立する。
• 確率的畳み込み $\Psi$ がほとんど確実に $L^q_T W^{s,r}_x$ に属することを確立し、滑らかでない空間での収縮に有効に用いることができる。
• 初期データにウィエナー確率的化を適用することで、$s_{\text{crit}} = 0$ または $s_{\text{crit}} < 1$ の場合でもwell-posednessが達成され、エネルギー下臨界領域を超えて拡張される。
• 収縮論法は、$\theta > 0$ の $T^\theta$ 要素の小ささに依存し、十分に小さな $T = T_\omega > 0$ に対して $C_T W^{s,r}_x$ 内で収束を保証する。
• エネルギー下臨界およびエネルギー上臨界の両状況で結果が成り立つ。特にエネルギー上臨界状況では $s > s_{\text{crit}} - 1$ および $r = \frac{2d}{d-2} - \delta$（$\delta > 0$ が十分小さい）を満たす必要がある。
• 確率的ストリコールツ推定により、$S(t)u_0^\omega$ および $\widetilde{\Psi} = S(t)u_0^\omega + \Psi$ がほとんど確実に必要な関数空間に属することを保証し、収縮論法の実行を可能にする。