[論文レビュー] On the structure and the behaviour of Collatz 3n + 1 sequences - Finite subsequences and the role of the Fibonacci sequence

Mike Winkler|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、初期値の12を法とする剰余に基づいて、コラッツの3n + 1列を構造的な有限部分列に分解することで分析する。部分列の有効な剰余類の数がフィボナッチ数列に従うという仮説を提示し、h,t ≤ 50 までその正しさを証明する。また、ほとんどすべての s≡3,7 mod 12 の初期値が有限の停止時間を持つことを示し、そのうちの三分の二が1つの部分列ステップで停止時間に達することを示す。

ABSTRACT

It is shown that every Collatz sequence $C(s)$ consists only of same structured finite subsequences $C^h(s)$ for $s\equiv9 (mod 12)$ or $C^t(s)$ for $s\equiv3,7 (mod 12)$. For starting numbers of specific residue classes ($mod 12\cdot2^h$) or ($mod 12\cdot2^{t+1}$) the finite subsequences have the same length $h,t$. It is conjectured that for each $h,t\geq2$ the number of all admissible residue classes is given exactly by the Fibonacci sequence. This has been proved for $2\leq h,t\leq50$. Collatz's conjecture is equivalent to the conjecture that for each $s\in\mathbb{N},s>1$, there exists $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$. The least $k\in\mathbb{N}$ such that $T^k(s)<s$ is called the stopping time of $s$, which we will denote by $\sigma(s)$. It is shown that Collatz's conjecture is true, if every starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time. We denote $ au(s)$ as the number of $C^t(s)$ until $\sigma(s)$ is reached for a starting number $s\equiv3,7 (mod 12)$. Starting numbers of specific residue classes ($mod 3\cdot2^{\sigma(s)}$) have the same stopping times $\sigma(s)$ and $ au(s)$. By using $ au(s)$ it is shown that almost all $s\equiv3,7 (mod 12)$ have finite stopping time and statistically two out of three $s\equiv3,7 (mod 12)$ have $ au(s)=1$. Further it is shown what consequences it entails, if a $C(s)$ grows to infinity.

研究の動機と目的

• 初期値の12を法とする剰余に基づいて、繰り返し現れる有限部分列を特定することにより、コラッツ列の構造的組成を理解すること。
• これらの部分列に対する許容可能な剰余類の数を調査し、フィボナッチ数列との関係を仮説立てること。
• すべての s≡3,7 mod 12 が有限の停止時間を持つという仮説が、コラッツの予想の真であることを示すこと。
• 部分列の数（au(s)）を用いて停止時間の挙動を定量化し、s≡3,7 mod 12 の場合に au(s)=1 が統計的に優勢であることを示すこと。
• コラッツ列が無限に成長する場合に生じる構造的・動的影響を分析すること。

提案手法

• すべてのコラッツ列 C(s) を、s≡9 mod 12 の場合の有限部分列 C^h(s) や、s≡3,7 mod 12 の場合の C^t(s) に分解する。
• 長さ h や t の固定部分列を生成する、12·2^h や 12·2^{t+1} を法とする特定の剰余類を同定する。
• フィボナッチ数列を、h,t ≥ 2 に対して許容可能な剰余類の数をモデル化し、h,t ≤ 50 に対して数値的に検証する。
• 停止時間 σ(s) を T^k(s) < s となる最小の k として定義し、σ(s) に達するまでの C^t(s) 部分列の数を au(s) として導入する。
• au(s) の統計的分布を分析し、s≡3,7 mod 12 のうちの2/3 が au(s)=1 を満たしていることを示す。
• 仮説的な無限大の成長を示すコラッツ列の結果を検討し、部分列モデルの構造的崩壊と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期値を12で割った剰余に基づいて、コラッツ列はどのように繰り返し現れる有限部分列の構造を持つのか？
• RQ2 h,t ≥ 2 に対して、これらの部分列の許容可能な剰余類の数は、常にフィボナッチ数列に従うのか？
• RQ3 すべての s≡3,7 mod 12 が有限の停止時間を持つという仮説は、コラッツの予想の真であることを示唆するのか？
• RQ4 s≡3,7 mod 12 の場合に、停止時間に到達するまでに必要な部分列数 au(s) の統計的分布は何か？
• RQ5 コラッツ列が無限に成長する場合、どのような構造的・動的結果が生じるのか？

主な発見

• h,t ≥ 2 に対して、12·2^h や 12·2^{t+1} を法とする部分列の長さ h や t を生成する許容可能な剰余類の数は、正確にフィボナッチ数列で与えられ、h,t ≤ 50 に対して数値的に検証済みである。
• コラッツの予想は、すべての s≡3,7 mod 12 が有限の停止時間 σ(s) を持つという主張と同値である。
• s≡3,7 mod 12 のほとんどが有限の停止時間を持つ。そのうちの2/3 が1つの部分列ステップで σ(s) に到達する（au(s)=1）。
• 3·2^{σ(s)} を法とする特定の剰余類に属する初期値は、同じ停止時間 σ(s) と同一の au(s) 値を持つ。
• この論文は、あるコラッツ列が無限に成長する場合、有限でフィボナッチ数で数えられる部分列の構造的モデルに矛盾することを示している。
• 停止時間 σ(s) と部分列数 au(s) は、すべて s を 3·2^{σ(s)} を法とする剰余類によって完全に決定される。