[論文レビュー] On the structure of a class of distributions obeying the principle of a single big jump

Hui Xu, Michael Scheutzow+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Probability and Risk Models参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単一の大ジャンプの原則に従う重たい尾分布のクラス $Σ$ を調査し、このような分布が必然的に強く重たい尾を持つこと、および部分指数的分布と弱く尾同値でないことを示している。また、$Σ \cap \mathcal{K}$ が部分指数的および支配的変動尾分布を真に含む明示的例を構築し、既知のクラスを超えた豊かで非自明な構造を明らかにしている。

ABSTRACT

In this paper, we present several heavy-tailed distributions belonging to the new class J of distributions obeying the principle of a single big jump introduced by Beck et al. [1]. We describe the structure of this class from different angles. First, we show that heavy-tailed distributions in the class J are automatically strongly heavy-tailed and thus have tails which are not too irregular. Second, we show that such distributions are not necessarily weakly tail equivalent to a subexponential distribution. We also show that the class of heavy-tailed distributions in J which are neither long-tailed nor dominatedly-varying-tailed is not only non-empty but even quite rich in the sense that it has a nonempty intersection with several other well-established classes. In addition, the integrated tail distribution of some particular of these distributions shows that the Pakes-Veraverbeke-Embrechts Theorem for the class J in [1] does not hold trivially.

研究の動機と目的

• 単一の大ジャンプの原則に従う分布のクラス $Σ$ の構造的性質を特定すること。
• このクラス $Σ$ と、既に確立された重たい尾のクラス（部分指数的 ($\mathcal{S}$)、支配的変動尾 ($\mathcal{D}$)、長尾 ($\mathcal{L}$)）との関係を明確にすること。
• クラス $Σ$ に属する分布が、部分指数的分布と弱く尾同値であるかどうかを調査すること。
• クラス $Σ$ に属する重たい尾分布のうち、長尾でも支配的変動尾でもないものが空でなく、複数の確立されたクラスと交差することを示すこと。
• 統合尾分布の具体例を用いて、Pakes-Veraverbeke-Embrechts の定理がクラス $Σ$ に対して非自明に成り立つかどうかを検証すること。

提案手法

• 独立同一分布に従う確率変数の和が大きな閾値を超える条件のもとで、最大の和分が和を支配する確率が閾値が上昇するにつれて1に近づくという条件によって、クラス $Σ$ を定義する。
• 3つの定式化の同値性を用いる：(1) 最大順序統計量が高確率で支配的である、(2) 第2位の統計量が緊密である、(3) 第2位の統計量が任意の増加関数を超える確率が消える。
• すべての $\lambda > 0$ に対して $\lim_{x\to\infty} e^{\lambda x} \overline{F}(x) = \infty$ を満たす「強く重たい尾」の定義を用い、$Σ \cap \mathcal{K}$ 内の階層を確立する。
• dyadic 区間 $[2^n, 2^{n+1})$ を用いて、尾部が区分的で定義された具体的な例 $F^I$ を構築し、$F^I$ が $Σ$ に属することを示す。尾部は $2^{(3n-2-n^2)/2}$ の割合で減少する。
• 統合尾分布と尾部挙動を用いた積分推定を用い、単一の大ジャンプ性質を検証する。$x$ の異なる範囲で $B_1(x)$ と $B_2(x)$ の境界を分析する。
• 弱い尾同値性 $\overline{F} \thickapprox \overline{G}$ を用い、$\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x)$ の漸近的挙動に基づき、$F^I$ がいかなる部分指数的分布とも弱く尾同値でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラス $Σ$ に属するすべての重たい尾分布は、必然的に強く重たい尾であるか？
• RQ2 $Σ \cap \mathcal{K}$ は $\mathcal{S} \cup \mathcal{D}$ よりも真に大きく、その豊かさはいかほどか？
• RQ3 クラス $Σ$ に属する分布が、部分指数的分布と弱く尾同値である可能性はあるか？
• RQ4 Pakes-Veraverbeke-Embrechts の定理が $Σ$ に対して非自明に成り立つか、それとも特定の例では自明的になるか？
• RQ5 $F \in \u03a3$ とその統合尾分布 $F^I$ の関係は何か、特に $Σ$ に属するかどうかの点で。

主な発見

• クラス $Σ \cap \mathcal{K}$ は強く重たい尾のクラス ($\mathcal{DK}^c$) に真に含まれており、この包含関係は真である。例 2.1 によって示された。
• 構築された例 $F^I$ は、$K \to \infty$ のとき $B_1(x) \to 0$ かつ $B_2(x) \to 0$ を満たすことが確認され、単一の大ジャンプの原則を満たしている。これにより $F^I \in \u03a3$ であることが裏付けられた。
• 分布 $F^I$ は、$n \to \infty$ のとき $\overline{F^I}(x-t)/\overline{F^I}(x) \sim 1 + t$ となるため、弱い尾同値性の条件を満たさず、いかなる部分指数的分布とも弱く尾同値でない。
• 長尾でも支配的変動尾でもない重たい尾の分布が $Σ$ に属するクラスは空ではなく、複数のよく知られたクラスと交差しており、豊かで非自明な構造を示している。
• $F^I$ の統合尾分布の挙動から、$Σ$ に対する Pakes-Veraverbeke-Embrechts の定理が自明に成り立たないことが判明した。尾部挙動は標準的な部分指数的減衰と一致しない。
• この例は、$F \in \u03a3$ であっても $F^I \in \u03a3$ でないし、逆に $F^I \in \u03a3$ であっても $F \in \u03a3$ でない可能性があることを示しており、有限の1階モーメントを持つ場合でも、分布とその統合尾の間には非自明な関係があることを強調している。