[論文レビュー] On the structure of α-limit sets of backward trajectories for graph maps

Magdalena Foryś-Krawiec, Jana Hantáková+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフ写像における後向き軌道のα-極限集合の構造を調査し、混合写像ではすべてのα-極限集合がω-極限集合であることを確立している。また、任意の点に対して、任意のω-極限集合が何らかの後向き分岐によってα-極限集合として実現可能である。ゼロエントロピー写像では、α-極限集合は正確に最小集合である。正エントロピー写像では、α-極限集合はほとんどがω-極限集合であり、孤立点は高々可算個であるが、一部の状況では完全な特徴付けは未解決のままである。

ABSTRACT

<p>In the paper we study what sets can be obtained as <em>α</em>-limit sets of backward trajectories in graph maps. We show that in the case of mixing maps, all those <em>α</em>-limit sets are <em>ω</em>-limit sets and for all but finitely many points <em>x</em>, we can obtain every <em>ω</em>-limits set as the <em>α</em>-limit set of a backward trajectory starting in <em>x</em>. For zero entropy maps, every <em>α</em>-limit set of a backward trajectory is a minimal set. In the case of maps with positive entropy, we obtain a partial characterization which is very close to complete picture of the possible situations.</p>

研究の動機と目的

• グラフ写像における後向き軌道のα-極限集合としてどのような集合が現れるかを特定すること。
• 異なる力学的状態におけるα-極限集合とω-極限集合の関係を明確にすること。
• グラフ写像における混合、ゼロエントロピー、正エントロピーの条件下でのα-極限集合を特徴づけること。
• 任意のω-極限集合が、何らかの後向き分岐によってα-極限集合として実現可能かどうかを調査すること。
• 基本集合の役割と正エントロピー系におけるα-極限集合の構造を探索すること。

提案手法

• グラフ写像 f: G → G における後向き分岐 {x_j}_{j≤0} を分析し、α-極限集合としての蓄積点に注目する。
• 写像 g: Y → Y における混合グラフ写像へのほぼ同型写像を用いて、g から f への力学的性質の移行を行う。
• Blokhの分解定理を適用して、最大のω-極限集合を基本的、ソレノイド的、円周的、周期的タイプに分類する。
• Hausdorff距離収束を用いて、周期軌道の極限としてω-極限集合を構成する。
• 前像集合の構造と同値関係 ∼ を用いて、α-極限集合内の孤立点を分析する。
• 混合写像では、任意の到達可能な点から出発する後向き分岐によって、任意のω-極限集合がα-極限集合として実現可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合グラフ写像における任意のω-極限集合が、何らかの後向き軌道のα-極限集合として実現可能か？
• RQ2 ゼロエントロピーのグラフ写像における後向き分岐のα-極限集合はすべて最小集合か？
• RQ3 正エントロピーのグラフ写像において、基本集合に含まれる任意のω-極限集合が、何らかの後向き分岐のα-極限集合として実現可能か？
• RQ4 正エントロピー写像におけるα-極限集合の構造、特に孤立点に関しては？
• RQ5 後向き分岐のα-極限集合における孤立点の集合 R は常に空集合か、非自明な可能性があるか？

主な発見

• トポロジカルに混合なグラフ写像では、任意のω-極限集合が、任意の到達可能な点から出発する後向き分岐によってα-極限集合として実現可能である。
• ゼロエントロピーのグラフ写像では、後向き分岐のα-極限集合はすべて最小集合であり、このようなα-極限集合の族は最小集合の族と完全に一致する。
• 正エントロピー写像では、後向き分岐のα-極限集合はほとんどがω-極限集合であり、孤立点は高々可算個である。このような点の集合 R は非空である可能性があるが、その空集合性については未解決のままである。
• 正エントロピー写像の基本集合において、高々可算個の点を除くすべての点 x に対して、D に含まれる任意の無限大ω-極限集合 ω(y) は、高々可算個の孤立点を除いて、x から出発する後向き分岐のα-極限集合として実現可能である。
• 基本集合における後向き分岐のα-極限集合は、ある点 y のω-極限集合に含まれており、α-極限集合内の孤立点の集合が稠密である場合、等号が成り立つ。
• 本稿では、混合写像またはゼロエントロピー写像では、グラフ写像におけるα-極限集合が常にω-極限集合であることを示しているが、正エントロピー写像の一般ケースについては、後向き軌道の構築における制御の制限により、一部未解決のまま残っている。