[論文レビュー] On the Structure of Physical Measures in Gauge Theories

Christian Fleischhack|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2次元ヤン・ミルズ理論を含むコンfinementを示すゲージ理論では、標準的な作用法—物理的測度を $ d\mu = e^{-S} d\mu_0 $ として定義すること—が失敗することを示している。その理由は、得られる測度がアシュテカール＝ルワンドフスキーの運動論的測度に関して完全に特異的になるためである。失敗の背景には、結合定数の普遍性、ループの独立性、幾何学的正則性の三つの物理的原理があり、これらが同時に成り立つと、そのようなラドン＝ニコディム導関数は存在しないことを示唆している。

ABSTRACT

It is indicated that the definition of physical measures via ``exponential of minus the action times kinematical measure'' contradicts properties of certain physical models. In particular, theories describing confinement typically cannot be gained this way. The results are rigorous within the Ashtekar approach to gauge field theories.

研究の動機と目的

• 連続ゲージ理論の文脈において、物理的測度を $ d\mu = e^{-S} d\mu_0 $ として定義する作用法の妥当性を調査すること。
• この方法が現実の量子場理論を記述できない物理的および数学的条件を同定すること。
• 2次元ヤン・ミルズ理論のような特定のコンfining理論が、測度の特異性のため、そのような測度では記述できないことを厳密に示すこと。
• 物理的測度の特異性が欠陥ではなく、コンfinementおよび非摂動的ダイナミクスと関連した物理的特徴であることを確立すること。

提案手法

• コンpact構造群を伴う格子ゲージ理論の射影極限を用いるアシュテカールのアプローチを採用する。
• アシュテカール＝ルワンドフスキー測度 $ d\mu_0 $ を、格子群上のハール測度の射影極限として定義し、標準的な運動論的測度として機能させる。
• 三つの物理的原理を適用する：結合定数の普遍性、ループ観測量の独立性、幾何学的正則性（ループが縮小するにつれてホロノミーが単位元に収束する）。
• 測度の性質を分析するために、ウィルソンループ期待値 $ \langle \text{tr}\, \phi(h_\beta) \rangle $ を物理的観測量として用いる。
• 測度論的議論を用いて、もし三つの原理がすべて成り立つならば、物理的測度 $ d\mu $ は $ d\mu_0 $ に対して完全に特異的であり、したがって $ e^{-S} $ という密度関数は存在しないことを示す。
• 古典的作用が分布的接続にまで拡張できないことから、2次元ヤン・ミルズ理論を具体的な例として分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような物理的条件下で、$ d\mu = e^{-S} d\mu_0 $ という作用法がゲージ理論を記述できないのか？
• RQ2 コンfiningゲージ理論の物理的測度は、アシュテカール＝ルワンドフスキー測度に対するラドン＝ニコディム導関数として表現可能か？
• RQ3 普遍性、独立性、幾何学的正則性の原則が、連続ゲージ理論における測度の特異性をどの程度まで示唆するのか？
• RQ4 2次元ヤン・ミルズ理論では、明示的な量子化が知られているにもかかわらず、なぜ作用法が失敗するのか？
• RQ5 非摂動的量子場理論において、物理的測度の特異性は物理的特徴か、数学的アーチファクトか？

主な発見

• 結合定数の普遍性、ループの独立性、幾何学的正則性を満たすゲージ理論では、作用法が失敗する。その理由は、得られる物理的測度がアシュテカール＝ルワンドフスキー測度に対して完全に特異的になるためである。
• 2次元ヤン・ミルズ理論では、理論が明示的に量子化されているにもかかわらず、古典的作用が分布的接続にまで適切に拡張できないため、物理的測度は $ e^{-S} d\mu_0 $ として表現できない。
• 測度の特異性は、有限結合定数と無限大結合定数の領域の物理的差異を反映しており、$ d\mu_0 $ は強結合極限に対応する。
• 面積則 $ \langle \text{tr}\, \phi(h_\beta) \rangle = d_\phi e^{-\text{const} \cdot |G_\beta|} $ は測度の特異性を示す十分な指標であり、長さ則ではそのような結果は得られない。
• 非自明な表現では $ d\mu_0 $ における期待値が消えるため、$ d\mu_0 $ はコンfining理論における物理的状態を記述できない。
• 作用法の失敗は欠陥ではなく、非摂動的構造の兆候である。特異性は、コンfinementなどの本質的物理現象を符号化している。