[논문 리뷰] On the submetrizability number and $i$-weight of quasi-uniform spaces and paratopological groups

Тарас Банах, Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 14.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 파라위상군과 준균질공간의 표준적인 왼쪽 및 오른쪽 준균질성을 분석하여, 하위메트라이징 가능성 수와 i-무게에 대한 상계를 확립한다. 2002년 문제를 해결하기 위해, 첫 번째 가산성 Hausdorff 파라위상군은 항상 하위메트라이징 가능하다는 것을 증명함과 동시에, 가산 피새특성( pseudocharacter)을 가진 0차원, 정규, Hausdorff, 아벨 파라위상군이 하위메트라이징 가능하지 않은 예를 구성함으로써, 상계의 날카로움을 입증한다.

ABSTRACT

We derive many upper bounds on the submetrizability number and $i$-weight of paratopological groups and topological monoids with open shifts. In particular, we prove that each first countable Hausdorff paratopological group is submetrizable thus answering a problem of Arhangelskii posed in 2002. Also we construct an example of a zero-dimensional (and hence regular) Hausdorff paratopological abelian group $G$ with countable pseudocharacter which is not submetrizable. In fact, all results on the $i$-weight and submetrizability are derived from more general results concerning normally quasi-uniformizable and bi-quasi-uniformizable spaces.

연구 동기 및 목표

• Arhangelskii가 2002년에 제기한 열린 문제를 해결하는 데 목적이 있다. 즉, 모든 첫 번째 가산성 Hausdorff 파라위상군이 더 약한 메트라이징 가능 위상 구조를 가질 수 있는가 여부를 밝히는 것이다.
• 열린 이동을 갖는 파라위상군과 위상 모노이드의 하위메트라이징 가능성 수와 i-무게에 대한 상계를 유도하는 것.
• 하위메트라이징 가능성의 핵심 조건으로서 준-로엘cke 균질성의 피새특성을 조사하는 것.
• 일반적으로, 정규성 및 0차원 성질 조건 하에서도 가산 피새특성이 하위메트라이징 가능성을 보장하지는 않는다는 것을 보여주는 반례를 구성하는 것.
• 일반화된 정규 준균질가능성 및 이중준균질가능성 공간에 대한 결과를 확장하여 i-무게와 하위메트라이징 가능성에 대한 기수 불변량을 도출하는 것.

제안 방법

• 항등원의 열린 이웃 U에 대해 {(x,y) : y ∈ UxU⁻¹ ∩ U⁻¹xU} 형태의 엔투리지로 정의된 파라위상군 G 위의 준-로엘cke 균질성 Q를 분석한다.
• G 위의 왼쪽 및 오른쪽 준균질성 L과 R을 사용하여, 하위메트라이징 가능성을 제어하는 피새특성 ψ(Q)에 대한 상계를 도출한다.
• 정상적인 ±-하나의 준균질성에 대한 결과를 적용하여 정상성을 확보하고, i-무게에 대한 상계를 유도한다.
• 유한 지지 집합을 갖는 특정한 파라위상군 H = ↑Z^κ를 구성함으로써, 가산 피새특성을 가졌지만 ψ(Q)는 비가산임을 보여주며, 하위메트라이징 가능성은 가산 피새특성으로부터 유도되지 않음을 입증한다.
• 강한 σ-이산성과 네트워크 추론을 활용하여, H에 대해 log(κ)를 통해 하위메트라이징 가능성과 i-무게를 증명하고 계산한다.
• 강한 σ-이산 Tychonoff 공간이 0차원임을 이용하여, 정규적이고 0차원적인 반례를 구성할 수 있음을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 첫 번째 가산성 Hausdorff 파라위상군은 하위메트라이징 가능할까?
• RQ2 파라위상군이 가산 피새특성을 가질 수 있지만, 하위메트라이징 가능하지 않은 경우가 존재할 수 있는가?
• RQ3 파라위상군에서 준-로엘cke 균질성의 i-무게와 피새특성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 왼쪽 및 오른쪽 준균질성이 파라위상군의 하위메트라이징 가능성과 i-무게에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 유한 지지 집합을 갖는 군 ↑Z^κ에 대해 어떤 기수 불변량을 계산할 수 있으며, 그 기수 불변량은 그 위상적 성질과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 첫 번째 가용성 Hausdorff 파라위상군은 하위메트라이징 가능하며, 이는 Arhangelskii가 2002년에 제기한 문제를 해결한 것이다.
• 0차원, 정규, Hausdorff, 아벨 파라위상군 H 중에서 가산 피새특성을 가지지만 하위메트라이징 가능하지 않은 군이 존재한다.
• 유한 지지 집합을 갖는 군 H = ↑Z^κ에 대해, i-무게는 iw(H) · ω = log(κ)를 만족한다. 여기서 κ는 비가산 기수이다.
• H 위의 준-로엘cke 균질성 Q에 대해 ψ(Q) = κ 이고, ψ(H) = ω 이므로, ψ(Q)는 ψ(H)가 가산일지라도 비가산일 수 있음을 보여준다.
• H 위의 왼쪽 준균질성 L에 대해 ℓ(L) = dc(H) = κ 이며, 이는 H가 강한 σ-이산성을 가짐에도 불구하고 왼쪽 균질성이 가산적으로 생성되지 않음을 의미한다.
• H의 하위메트라이징 가능성 수 sm(H) ≤ ψ(Q) = κ 이지만, sm(H) < ψ(Q) 가 가능하므로, 부등식이 엄밀하게 성립할 수 있음을 보여준다.