[論文レビュー] On the Symmetries of and Equivalence Test for Design Polynomials

Jesko Hüttenhain|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、複素数体上のn変数のr番目の初等対称多項式の完全な安定化子群を特定し、2 < r < n の範囲で、それが対称群 $S_n$ とr次の单位根からなる巡回群 $
mathbb{Z}_r$ の半直積に同型であることを証明する。安定化子は変数の置換と同時にr次の単位根によるスケーリングからなるが、それ以上の線形対称性は存在しない。この結果により、幾何学的複雑度理論における基礎的ギャップが埋められ、初等対称多項式の対称性群が完全に特定された。

ABSTRACT

In a Nisan-Wigderson design polynomial (in short, a design polynomial), every pair of monomials share a few common variables. A useful example of such a polynomial, introduced in [Neeraj Kayal et al., 2014], is the following: NW_{d,k}({x}) = sum_{h in F_d[z], deg(h) <= k}{ prod_{i=0}^{d-1}{x_{i, h(i)}}}, where d is a prime, F_d is the finite field with d elements, and k << d. The degree of the gcd of every pair of monomials in NW_{d,k} is at most k. For concreteness, we fix k = ceil[sqrt{d}]. The family of polynomials NW := {NW_{d,k} : d is a prime} and close variants of it have been used as hard explicit polynomial families in several recent arithmetic circuit lower bound proofs. But, unlike the permanent, very little is known about the various structural and algorithmic/complexity aspects of NW beyond the fact that NW in VNP. Is NW_{d,k} characterized by its symmetries? Is it circuit-testable, i.e., given a circuit C can we check efficiently if C computes NW_{d,k}? What is the complexity of equivalence test for NW, i.e., given black-box access to a f in F[{x}], can we check efficiently if there exists an invertible linear transformation A such that f = NW_{d,k}(A * {x})? Characterization of polynomials by their symmetries plays a central role in the geometric complexity theory program. Here, we answer the first two questions and partially answer the third. We show that NW_{d,k} is characterized by its group of symmetries over C, but not over R. We also show that NW_{d,k} is characterized by circuit identities which implies that NW_{d,k} is circuit-testable in randomized polynomial time. As another application of this characterization, we obtain the "flip theorem" for NW. We give an efficient equivalence test for NW in the case where the transformation A is a block-diagonal permutation-scaling matrix. The design of this algorithm is facilitated by an almost complete understanding of the group of symmetries of NW_{d,k}: We show that if A is in the group of symmetries of NW_{d,k} then A = D * P, where D and P are diagonal and permutation matrices respectively. This is proved by completely characterizing the Lie algebra of NW_{d,k}, and using an interplay between the Hessian of NW_{d,k} and the evaluation dimension.

研究の動機と目的

• 複素数体上のn変数のr番目の初等対称多項式の完全な安定化子群を、$2 < r < n$ の範囲で特定すること。
• 初等対称多項式 $\mathrm{ESPr}$ を不変にする対称性を明示的に同定することで、幾何学的複雑度理論（GCT）における基礎的ギャップを埋めること。
• $\mathrm{ESPr}$ を不変にする線形変換は、変数の置換と同時にr次の単位根によるスケーリング以外に存在しないことを確立すること。
• 軌道閉包の座標環における重みを分析し、それらが $\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$ という格子を生成することを示すこと。

提案手法

• 多項式環 $\mathbb{C}[X_1, \dots, X_n]$ 上での $\mathrm{GL}_n$ の作用を用い、$\mathrm{ESPr} \circ h = \mathrm{ESPr}$ を満たす行列 $h$ の集合として安定化子 $H_r$ を定義する。
• 多項式の次数解析を用い、$f_{a,b}(X) = \mathrm{ESPr}(Xa + b)$ を導入し、任意の $b$ に対して $\deg(f_{a,b}) \leq 1$ であることと、$\rho(a) \leq 1$ であることは同値であることを証明する。ここで $\rho(a)$ は $a$ の非ゼロ成分の数を数える。
• 初等対称多項式 $\mathrm{ESP}_k$ に関する組合せ論的議論を用い、消えている条件が $a$ が高々1つの非ゼロ成分しか持たないことを強制することにより、可能な対称性を制限する。
• 特に代数的ピーターウェイの定理と重み空間分解を用いた $\mathrm{GL}_n$ の表現論を用い、軌道閉包の座標環を分析する。
• $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ および既約表現 $V(\lambda)$ における $H_r$-不変ベクトルを同定し、$V(\lambda)^{H_r} \neq \{0\}$ となるのは $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}$ のときに限ることを示す。
• $\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ および $\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ で $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$ となる $V(\lambda_i)$ に明示的な $H_r$-不変ベクトルを構成し、それが必要な重み格子を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 < r < n の範囲で、$\mathrm{ESPr}$ を不変にする線形変換の完全な群は何か？
• RQ2 $\mathrm{ESPr}$ の線形対称性は、変数の置換と同時にr次の単位根によるスケーリング以外に存在するか？
• RQ3 $\mathrm{ESPr}$ の軌道閉包の座標環における重みは、安定化子群 $H_r$ とどのように関係するか？
• RQ4 軌道閉包の重み格子は、安定化子構造を用いて完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 安定化子 $H_r$ は、$S_n$ が置換行列により作用し、$\mathbb{Z}_r$ がr次の単位根を成分とするスカラー行列により作用するという意味で、$S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$ に同型である。
• $S_n \rtimes \mathbb{Z}_r$ に属するもの以外の線形変換は $\mathrm{ESPr}$ を不変にしないことが証明され、この群は対称性の観点で最大である。
• 座標環 $\mathbb{C}[\Omega]$ の中に現れる重みは、$\{\lambda \in \Lambda \mid \lambda_1 + \cdots + \lambda_n \in r\mathbb{Z}\}$ という格子を生成する。
• 各 $i$ に対して、$\mathrm{Sym}^r \mathbb{C}^n$ 内のベクトル $e_i^r$ は $H_r$-不変であるため、$\mathbb{Z}_r$ のスカラー作用が安定化子に含まれることが確認される。
• 各 $i = 1, \dots, n-1$ に対して、$\lambda_i = (\ell_i, 1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ で $\ell_i = r \cdot n(n+1)/2 - i$ であるような既約表現 $V(\lambda_i)$ には、非ゼロの $H_r$-不変ベクトルが存在する。
• 重み格子は、最初の列 $(r, 0, \dots, 0)$ と $n-1$ 個の列 $(\ell_1, 1, \dots, 1), \dots, (\ell_{n-1}, 1, \dots, 1)$ によって生成され、これにより $\widetilde{\Lambda}_r = \Lambda_r$ が確認される。