[論文レビュー] On the system of elastic-gravitational equations describing the oscillations of the earth

Maarten V. de Hoop, Sean Holman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、地球の振動を支配する弾性重力方程式系の適切性を、最小限の正則性仮定のもとで確立し、回転する自己重力場を有する地球モデル（液体外核を有する）に対して、解の存在、一意性、エネルギー保存を証明する。非局所的自己重力効果を扱うためにボルテラ積分形式を導入し、エネルギー推定とガラーキン近似の収束を厳密に導出する。

ABSTRACT

The linear equations of motion of a uniformly rotating, elastic and self-gravitating earth model are analyzed under minimal regularity assumptions. We present existence and uniqueness results for the system, energy estimates, convergence of Galerkin approximations, and propose a method based on a Volterra equation to deal with the nonlocal self-gravitation.

研究の動機と目的

• 均一に回転する弾性的かつ自己重力場を有する地球モデルにおける線形運動方程式の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 固体および流体領域が $ C^1 $ 界面で分離された多層構造地球モデルにおいて、最小正則性仮定のもとで解の存在と一意性を証明すること。
• 適切な境界条件および界面条件のもとで、系のエネルギー推定とエネルギー保存則を導出すること。
• 非局所的自己重力効果を扱うために、ボルテラ積分方程式アプローチを構築すること。
• 今後の研究で地球の正規モードのスペクトル的特徴づけを可能にする基盤を提供すること。

提案手法

• 変位 $ u $、コリオリ力 $ R_\theta \cdot \dot{u} $、重力摂動 $ S(u) $ を含む偏微分方程式系として運動方程式を定式化し、$ \rho^0 $、$ \Lambda^{T^0} $、および $ \Phi^0 + \Psi^s $ を基準パラメータとして用いる。
• 静的平衡条件を固体領域および流体領域の運動量方程式に適用し、地震発生以前の機械的平衡を保証する。
• 特に流体領域における非局所的自己重力効果を扱うために、ボルテラ積分方程式形式を用いる。
• 境界および界面条件を $ \partial\tilde{X} $、$ \Sigma^{SS} $、$ \Sigma^{FS} $、$ \Sigma^{FF} $ に課し、流体界面における接線方向スリップ条件を含む。
• $ L^2 $-正則性を用いたガラーキン近似を採用し、エネルギー空間における弱解への収束を証明する。
• 運動方程式を統合し境界条件を適用することでエネルギー恒等式を導出し、運動エネルギー、弾性エネルギー、重力位置エネルギーの項を含む保存エネルギー表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転する地球（液体外核を有する）において、弾性重力方程式系が、最小限の正則性仮定のもとで一意解を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 系における非局所的自己重力効果を数学的に取り扱うにはどうすればよいか、適切性を保証するには？
• RQ3 与えられた境界条件および界面条件のもとで、系に成り立つエネルギー推定および保存則は何か？
• RQ4 流体界面における2次接線方向スリップ条件がエネルギー恒等式および物理的整合性に与える影響は何か？
• RQ5 ガラーキン近似は弱解へ収束するか？ その条件は何か？

主な発見

• 最小正則性仮定のもとで、弾性重力方程式系は適切に定式化されており、弱解としての解の存在と一意性が確立された。
• すべての境界および界面条件（2次接線方向スリップ条件を含む）が満たされる限り、$ f = 0 $ の場合にエネルギーが保存される。
• 全エネルギーは $ E = \frac{1}{2}(\|\dot{u}\|_{L^2}^2 + a_2(u,u)) $ と表され、ここで $ a_2(u,u) $ は弾性エネルギーおよび重力ポテンシャルエネルギーに対応する。
• ボルテラ積分形式により、積分作用素が因果的かつ時刻依存のカーネルに変換されることで、非局所的自己重力効果が効果的に扱える。
• ガラーキン近似はエネルギー空間において弱解へ収束し、数値的手法の安定性および一貫性が裏付けられた。
• エネルギー恒等式は、表1のすべての境界条件に加え、非線形的2次接線方向スリップ条件が適用されている場合に限り、物理的エネルギーと等価である。