[論文レビュー] On the time of first level crossing and inverse Gaussian distribution

V. K. Malinovskiǐ|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複合再生過程 $V_s - cs$ がレベル $u$ を crossing する最初の通過時間分布の新しい近似を提案する。この近似は逆ガウス分布を活用しており、臨界漂移 $c^* = \mathbb{E}[Y]/\mathbb{E}[T]$ の近くで競争力があり、漸近的に正確である。$u+cv \to \infty$ のとき、モーメントと有界密度の条件下で誤差が $\underline{O}\left(\frac{\ln(u+cv)}{u+cv}\right)$ で抑えられる。

ABSTRACT

We propose a new approximation for the distribution of the time of the first level $u$ crossing by the random process $\homV{s}-cs$, where $\homV{s}$, $s>0$, is compound renewal process and $c>0$. It is competitive with respect to existing approximations, particularly in the region around the critical point $c=\cS$ which separates processes with positive and negative drifts. This approximation is tightly related to inverse Gaussian distributions.

研究の動機と目的

• 複合再生過程における最初の通過時間 $\Upsilon = \inf\{s > 0 : V_s - cs > u\}$ の分布に対する、新たな解析的扱いやすい近似を構築すること。
• 漂移が正から負に変わる臨界領域 $c = c^*$ の近くで、既存の近似がしばしば失敗する領域の精度を向上させること。
• 最初の通過時間分布と逆ガウス分布との間に密接な関係を確立し、標準正規分布のCDFを用いた閉形式表現を可能とすること。
• ジャンプおよび再生間隔分布の弱い正則性条件のもとで、近似の均一な誤差境界 $\underline{O}\left(\frac{\ln(u+cv)}{u+cv}\right)$ を確立すること。

提案手法

• この手法は、元の再生過程の平均と分散から導かれるパrameterを用いて、逆ガウス分布の累積分布関数（CDF）に基づく時刻依存の近似 $\mathcal{M}_t(u,c,v)$ を構築する。
• 条件付き確率 $\mathbb{P}\{v < \Upsilon \leq t \mid T_1 = v\}$ を、$\mu = 1/(1 - cM)$ および $\lambda = (u + cv)/(c^2 D^2)$ を含む変換された正規CDF式でモデル化する。ここで $M = \mathbb{E}[T]/\mathbb{E}[Y]$ である。
• $c \leq c^*$ の場合、標準逆ガウスCDFを用いる。$c \geq c^*$ の場合、負の漂移の挙動を反映させるために指数的傾き（exponential tilt）を適用する。
• 導出には局所中心極限定理の枠組みを用い、$\exp(-y^2/2)$ と有理関数を含む積分を用いた厳密な漸近的解析が行われ、誤差項の正確な境界が確立される。
• 特に $u+cv$ が大きい場合の誤差項を制御するために、$\exp(-y^2/2)$ と $1/(y+R)$ を含む積分の漸近的挙動に関する補題が用いられる。
• 最終的な誤差境界は、主積分を二つの部分に分解し、補題 4.9–4.11 を適用することで、両方の成分が $\underline{O}(U^{-1})$ であることを示すことによって確立される。これにより、提示された収束速度が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複合再生過程の最初の通過時間分布を、臨界漂移 $c^*$ の近くで高精度に近似することは可能か？
• RQ2 一般のモーメントおよび密度条件のもとで、逆ガウス分布に基づく最初の通過時間 $\Upsilon$ の閉形式近似を導出できるか？
• RQ3 $u+cv \to \infty$ のとき、このような近似の漸近的誤差率は何か？また、$t$ および $v$ に関して一様に境界を定められるか？
• RQ4 漂移がゼロに近い臨界領域において、従来の近似と比較して、本手法の精度はどのように向上するか？
• RQ5 指数分布に限らない一般の初期再生間隔分布 $T_1$ に対しても、近似を拡張可能か？その際、誤差境界を維持できるか？

主な発見

• 提案された近似 $\mathcal{M}_t(u,c,v)$ は、$\mathbb{E}[T^3] < \infty$、$\mathbb{E}[Y^3] < \infty$、および有界密度の条件下で、$u+cv \to \infty$ のとき、$\mathbb{P}\{v < \Upsilon \leq t \mid T_1 = v\}$ の誤差境界が $\underline{O}\left(\frac{\ln(u+cv)}{u+cv}\right)$ に抑えられることを示した。
• 本手法は、$c \leq c^*$ および $c \geq c^*$ の両ケースに対して一様な表現を提供する。$c \geq c^*$ の場合、逆ガウスCDFに指数的傾きを適用することで、漂移領域をまたがる連続性と精度が保証される。
• 指数分布の $T_1$ の場合、近似を指数密度関数で積分することで、全生存関数 $\mathbb{P}(\Upsilon \leq t)$ が得られ、取り扱いやすい表現が得られる。
• 従来の手法と比較して、特に漂移がゼロに近い臨界領域 $c \approx c^*$ において、本手法は競争力があり、優れた性能を示す。
• 誤差解析は、$\exp(-y^2/2)$ と有理関数を含む積分の精密な漸近的推定に依拠しており、補題 4.9–4.11 を用いて $\underline{O}(R^{-1})$ の減衰が示された。
• 収束速度 $\underline{O}(\ln(u+cv)/(u+cv))$ は鋭く、$t$ および $v$ に関して一様であるため、リスク理論およびキューイング理論における実用的応用に適している。