[論文レビュー] On the topology of desingularizations of Calabi-Yau orbifolds

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jun 26, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、余次元2の特異点をもつCalabi-Yau軌道体の特異点解消によって得られるCalabi-Yau 3-foldの位相的性質を調査し、同一の軌道体から複数の異なる特異点解消が生じ得ること、それぞれが異なるHodge数とオイラー標数を持つことを示している。主な貢献は、この多様性が特異点のWeyl群と関連していることの特定であり、これは conformal field theory および離散的ねじれを介した弦理論との深い関係を示唆している。

ABSTRACT

Let X/G be a 3-dimensional Calabi-Yau orbifold with codimension 2 singularities. The topology of crepant resolutions of X/G is described by the McKay correspondence (Reid, Ito). We study Calabi-Yau 3-folds Y that arise by deforming the complex structure of X/G. The McKay correspondence does not hold for such Y. We describe the topology of Y using the `Weyl group' of the singular set of X/G. Even in simple examples, this can give many different ways to desingularize X/G. It would be interesting to interpret these results in String Theory, which should lead to a generalization of the idea of orbifold CFT, similar to the idea of `discrete torsion' (Vafa, Witten).

研究の動機と目的

• 余次元2の特異点をもつCalabi-Yau軌道体の特異点解消として得られるCalabi-Yau 3-foldの位相的多様性を理解すること。
• 同一の軌道体が異なるHodge数とオイラー標数をもつ複数の特異点解消をもたらす理由を説明すること。
• 特異点のWeyl群構造と特異点解消の位相的多様性との関係を明らかにすること。
• 特異点解消の幾何学と弦理論における conformal field theory の関係、特に離散的ねじれとねじれたセクターを通じて探求すること。
• 標準的なCFTフレームワークを拡張し、可能なすべての特異点解消を説明できるようにすること。

提案手法

• 余次元2の特異点をもつCalabi-Yau軌道体 $X/G$ の特異点解消を、crescentな解消と複素構造の変形に着目して分析する。
• 特異点のWeyl群を用いて、特異点解消の間の位相的差を分類・解釈する。
• 代数的幾何学および特異点論の結果、特に Kronheimer が $\mathbb{C}^2/H$ の解消としてALE空間を構成した結果を応用する。
• Schlessingerの剛性定理に依拠し、変形の可能性を余次元2の特異点に制限する。
• 特に、orbifold CFT $\mathcal{H}_{X/G}$ を構成する際の conformal field theories (CFT) と離散的ねじれの役割に類似性を適用する。
• 局所的離散的ねじれを許容し、Weyl群作用をねじれたセクターに組み込むことで、CFTフレームワークの拡張を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ同一のCalabi-Yau軌道体 $X/G$ が、異なる位相的性質をもつ複数のCalabi-Yau特異点解消 $Y_1, Y_2, \dots, Y_k$ をもたらすのか？
• RQ2 余次元2の特異点のWeyl群は、特異点解消間でのHodge数やオイラー標数の変動をどのように説明するのか？
• RQ3 特異点解消の多様性は、非グローバルな離散的ねじれを含む拡張された conformal field theory フレームワークを通じて理解可能か？
• RQ4 Weyl群は、関連する conformal field theory $\mathcal{H}_{X/G}$ の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathcal{H}_{X/H}$ のねじれたセクターにおけるWeyl群の作用は、$X/G$ の異なる特異点解消に対応する新しい商CFTをどのように導くのか？

主な発見

• 同一の軌道体 $X/G$ からの複数のCalabi-Yau特異点解消が存在し、それぞれが異なるHodge数とオイラー標数を持つ。
• 特異点解消間の位相的差は、余次元2の特異点のWeyl群によって説明できる。
• オイラー標数の公式 $\chi(Y) = \frac{1}{|G|} \sum_{g,h \in G: gh=hg} \chi(X^g \cap X^h)$ はcrescentな解消では成り立つが、変形による非crescentな特異点解消では成立しない可能性がある。
• 余次元2の特異点の変形に基づく特異点解消は、crescentな解消とは異なる位相をもたらすが、高余次元やALEの場合とは異なり、これは特異点解消の多様性を示している。
• 複数の特異点解消の存在は、標準的なCFTフレームワークを拡張する必要があることを示唆しており、特に局所的離散的ねじれとねじれたセクターへのWeyl群作用の許容が必要である。
• 特異点のWeyl群 $W$ は、関連する conformal field theory $\mathcal{H}_{X/H}$ に追加の対称性として作用し、より大きな群 $K \ltimes W$ を形成し、$X/G$ のための新しい商CFTを導く。