[論文レビュー] On the twisted $q$-zeta functions and $q$-Bernoulli polynomials

Taekyun Kim, Lee Chae Jang+2 more|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}_p$ 上の $p$-進不変積分を用いてねじれた $q$-ベルヌーイ数および多項式を導入し、これらが負の整数で補間されるねじれた $q$-ゼータ関数およびねじれた $q$-L級数を構成し、それらの解析接続および関数等式を確立する。主な結果は、古典的 $L$-関数の補間を一般化する補間公式 $\zeta_{q,w}^{(h)}(1-m) = -\beta_{m,w}^{(h)}(q)/m$ である。

ABSTRACT

We study the twisted q-zeta functions and twisted q-Bernoulli polynomials

研究の動機と目的

• $\mathbb{Z}_p$ 上の $p$-進不変積分を用いてねじれた $q$-ベルヌーイ数を定義すること。
• 負の整数でこれらの数を補間するねじれた $q$-ゼータ関数を構成すること。
• ディリクレ指標に関連する一般化されたねじれた $q$-ベルヌーイ数を負の整数で補間するねじれた $q$-L級数を定義すること。
• 単位根と $q$-変形を組み込んだことで、古典的 $q$-ゼータ関数および $L$-関数を一般化すること。

提案手法

• ねじれた $q$-ベルヌーイ多項式を $p$-進 $q$-積分で定義：$\beta_{m,w}^{(h)}(x,q) = \int_{\mathbb{Z}_p} q^{(h-1)y} w^y [x+y]^m d\mu_q(y)$。
• ねじれた $q$-ベルヌーイ数の明示的公式を導出：$\beta_{m,w}^{(h)}(q) = \frac{1}{(1-q)^{m-1}} \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} q^{xk} (-1)^k \frac{k+h}{1 - q^{h+k}w}$。
• ねじれた $q$-ゼータ関数を構成：$\zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \frac{1-s+h}{1-s}(q-1)\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n}{[n]^{s-1}} + \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n}{[n]^s}$。
• ねじれた $q$-ゼータ関数の $\mathbb{C}$ 上への解析接続を確立し、$s=1$ に単一の極を持つことを示し、$\lim_{q\to 1} \zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \zeta(s,w)$ を示す。
• ねじれた $q$-L級数を定義：$L_{q,w}^{(h)}(s,\chi) = \frac{1-s+h}{1-s}(q-1)\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n \chi(n)}{[n]^{s-1}} + \sum_{n=1}^\infty \frac{q^{nh}w^n \chi(n)}{[n]^s}$。
• 補間性質を導出：$L_{q,w}^{(h)}(1-m,\chi) = -\frac{\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)}{m}$ により、級数とねじれた $q$-ベルヌーイ数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $p$-進不変積分を用いてねじれた $q$-ベルヌーイ数を $\mathbb{Z}_p$ 上で定義できるか？
• RQ2 ねじれた $q$-ゼータ関数の解析接続は何か？また、$q \to 1$ の極限で古典的Hurwitzゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ3 負の整数で一般化されたねじれた $q$-ベルヌーイ数を補間するねじれた $q$-L級数を構成できるか？
• RQ4 ねじれた $q$-ゼータ関数と負の整数におけるねじれた $q$-ベルヌーイ数との間の関数的関係は何か？
• RQ5 ねじれた $q$-ベルヌーイ数 $\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)$ を補間する $p$-進ねじれた $L$-関数の $q$-アナロジーは存在するか？

主な発見

• ねじれた $q$-ゼータ関数 $\zeta_{q,w}^{(h)}(s)$ は $\mathbb{C}$ 上に解析接続され、$s=1$ に単一の極を持つ。また、任意の $m \in \mathbb{N}$ に対して $\zeta_{q,w}^{(h)}(1-m) = -\frac{\beta_{m,w}^{(h)}(q)}{m}$ を満たす。
• $\lim_{q \to 1} \zeta_{q,w}^{(h)}(s) = \zeta(s,w)$ が成り立ち、古典的ねじれたゼータ関数が回復される。
• ねじれた $q$-L級数 $L_{q,w}^{(h)}(s,\chi)$ は一般化されたねじれた $q$-ベルヌーイ数を補間し、$L_{q,w}^{(h)}(1-m,\chi) = -\frac{\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q)}{m}$ を満たす。
• ねじれた $q$-ベルヌーイ数は、$f$ を導手として $\beta_{n,w}^{(h)}(x,q) = [f]^{n-1} \sum_{a=0}^{f-1} w^a q^{ha} \beta_{n,w^f}^{(h)}(\frac{a+x}{f}, q^f)$ という分布関係を満たす。
• 一般化されたねじれた $q$-ベルヌーイ数は $\beta_{m,w,\chi}^{(h)}(q) = [f]^{m-1} \sum_{a=0}^{f-1} \chi(a) w^a q^{ha} \beta_{m,w^f}^{(h)}(\frac{a}{f}, q^f)$ で与えられる。
• $\zeta_{q,w}(1-m) = \sum_{n=1}^\infty [n]^{m-1} q^{-mn} w^n$ により、$q$-アナロジーのオイラー発散定理が示唆される。これは、$\zeta(1-m)$ の古典的発散級数に類似している。