[論文レビュー] On the two dimensional supercritical percolation cluster, the number of self-avoiding paths is much smaller than expected

Hubert Lacoin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、2次元の上臨界パーコレーションクラスタ上の自己回避ウォークを研究し、ほとんど確実に、長さ $N$ のような経路の数がその期待値よりも指数的に遅く増加することを示している。測度の変更と粗大化技術を用いて、上臨界クラスタの連結定数がほとんど確実に非確率的であり、かつ期待連結定数よりも厳密に小さいことを証明しており、これは典型的な揺らぎを超えた経路の豊富さの著しい抑制を示している。

ABSTRACT

In this paper, we study abundance of self-avoiding paths of a given length on a supercritical percolation percolation cluster for percolation on $\mathbb Z^d$. More precisely, we count $Z_N$ the number of self-avoiding paths of length $N$ on the supercritical cluster, starting from the origin (that we condition to be in the cluster), and are interested in estimating the upper growth rate of $Z_N$ ($\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}$, we call it connective constant of the dilute lattice). After proving that the connective constant of the supercritical percolation cluster is a.s. non-random, we focus on the two-dimensional case and show that for every percolation parameter $p\in (1/2,1)$, almost surely, $Z_N$ grows exponentially slower than its expected value, that is $\limsup_{N o \infty} Z_N^{1/N}<\lim_{N o \infty} (\mathbb E[Z_N])^{1/N}$ where expectation is taken with respect to the percolation process. Our method combining change of measure and coarse graining arguments does not rely on specificities of percolation on $\mathbb Z^2$, so that our result can be extended to a large family of two dimensional models including self-avoiding walk in random environment.

研究の動機と目的

• 2次元の上臨界パーコレーションの無限クラスタ上における自己回避経路の漸近的増加率を理解すること。
• 確率的パーコレーションクラスタの連結定数がほとんど確実に非確率的であるかどうかを特定すること。
• 上臨界領域において、自己回避経路のほとんど確実な増加率とその期待値との乖離を調査すること。
• 自己回避ウォークが確率的環境にさらされた他の2次元モデルに適用可能な一般的手法を確立すること。

提案手法

• 経路の豊富さを支配するレアイベントを制御するため、パーコレーション過程を再重み付けする測度の変更技術を適用すること。
• 格子をブロックに粗大化し、経路の挙動を中間スケールで分析すること。
• 大スケールにおける経路数の揺らぎを制御することで、連結定数のほとんど確実な収束を確立すること。
• 新しい測度の下で一様エルゴード性と大偏差議論を用いて、連結定数が非確率的であることを証明すること。
• ほとんど確実な $Z_N$ の増加率を、アンネールド増加率 $\mathbb{E}[Z_N]^{1/N}$ と比較し、厳密な不等号を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上臨界パーコレーションクラスタの連結定数は、ほとんど確実に非確率的か？
• RQ2 パーコレーション測度の下で、クラスタ上における自己回避経路のほとんど確実な増加率は、期待増加率とどのように比較されるか？
• RQ3 本稿で用いられた手法は、クエンチドディスオーダーを有する他の2次元モデルへ拡張可能か？
• RQ4 上臨界領域における経路の豊富さの抑制の性質は何か？

主な発見

• 上臨界パーコレーションクラスタの連結定数は、ほとんど確実に非確率的であり、決定的漸近的増加率が確認された。
• すべての $p \in (1/2, 1)$ に対して、ほとんど確実に $\limsup_{N \to \infty} Z_N^{1/N} < \lim_{N \to \infty} (\mathbb{E}[Z_N])^{1/N}$ が成り立ち、経路の豊富さに指数的抑制があることを示している。
• 測度の変更と粗大化に基づく手法は、近接最近接パーコレーションを越えて、広範な2次元モデルに適用可能であり、強固である。
• この結果は、典型的な上臨界クラスタが、無限であるにもかかわらず、全期待数の自己回避経路を支持しないことを示唆している。