[論文レビュー] On the universality of the incompressible Euler equation on compact manifolds, II. Non-rigidity of Euler flows

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、トーラスを用いたワーペッド積を介してコンactなリーマン多様体を拡張することにより、滑らかな非圧縮性オイラー流れの空間が非剛性であることを示している。これは、任意の空でない開集合の非圧縮性オイラー流れが滑らかに近似可能であることを意味し、非圧縮性オイラー方程式の解によって近似可能である。これは、コンパクト多様体上でのオイラー流れが普遍的であるという予想を支持するものである。

ABSTRACT

The incompressible Euler equations on a compact Riemannian manifold $(M,g)$ take the form \begin{align*} \partial_t u + abla_u u &= - \mathrm{grad}_g p \\ \mathrm{div}_g u &= 0, \end{align*} where $u: [0,T] o Γ(T M)$ is the velocity field and $p: [0,T] o C^\infty(M)$ is the pressure field. In this paper we show that if one is permitted to extend the base manifold $M$ by taking an arbitrary warped product with a torus, then the space of solutions to this equation becomes "non-rigid'"in the sense that a non-empty open set of smooth incompressible flows $u: [0,T] o Γ(T M)$ can be approximated in the smooth topology by (the horizontal component of) a solution to these equations. We view this as further evidence towards the "universal" nature of Euler flows.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での非圧縮性オイラー方程式が、任意の滑らかな非圧縮性流れを解によって滑らかに近似可能であるかどうかを調査すること。
• 基本多様体をトーラスとのワーペッド積によって拡張した場合の、オイラー流れの構造的柔軟性（非剛性）を分析すること。
• オイラー流れが任意の有限次元力学系をシミュレート可能であるという予想に証拠を提供すること。これは、3次元における有限時間内の爆発の可能性を示唆する。
• 滑らかなオイラー方程式の解が、変更された多様体上での任意の与えられた滑らかな非圧縮性ベクトル場を滑らかに近似できるように構成できることを確立すること。

提案手法

• 多様体 $M$ をトーラス $\mathbb{T}^k$ とのワーペッド積によって拡張し、解空間における追加の自由度を許容する。
• ペンローズの抽象的インデックス表記と局所座標を用いて、オイラー方程式を共変形式で表現する：$\partial_t u^k + u^j \nabla_j u^k = -\nabla^k p$ および $\nabla_k u^k = 0$。
• ソボレフノルム $E_s^{(N)}$ を用いたエネルギー推定を適用し、近似解 $v^{(N)}$ の高階微分を制御する。
• 基本定理の微分積分学とファウ・ディ・ブルーノの公式を用いて、$H^{(N)}(t,x,B^{(N)})$ を含む合成関数の微分を評価する。
• 楕円的正則性とホルダーの不等式を用いて、発散を含む運動量方程式から導かれるポアソン方程式を介して、圧力関連項 $q^{(N)}$ を制御する。
• 連続性の議論を適用し、エネルギー $E_s^{(N)}(t)$ が時間に一様に小さく保たれることを示し、近似解が目標の流れに滑らかに収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上での滑らかな非圧縮性ベクトル場は、トーラスによる多様体の拡張の後、非圧縮性オイラー方程式の解によって滑らかに近似可能か？
• RQ2 オイラー方程式系のどのような構造的性質がこのような近似を可能にし、ワーペッド積の構成がどのようにこの柔軟性を実現するか？
• RQ3 拡張された多様体上でのオイラー流れの非剛性は、有限次元系におけるオイラー力学の普遍性を支持するか？
• RQ4 オイラー方程式は、基礎となる多様体の幾何的変更を通じて、任意の滑らかな流れをどの程度までシミュレート可能か？
• RQ5 エネルギー法とソボレフ推定は、この非剛性な設定において、近似解の滑らかな可解性と収束性を示すために用いられるか？

主な発見

• コンパクトなリーマン多様体上での滑らかな非圧縮性流れの空でない任意の開集合は、トーラスによる多様体の拡張の後、非圧縮性オイラー方程式の解の水平成分によって滑らかに近似可能である。
• 近似解のエネルギー $E_s^{(N)}(t)$ は一様に有界であり、$N \to \infty$ のとき 0 に収束する。これは、目標の流れへの滑らかな収束を示している。
• 近似は時間 $T$ まで一様に成り立ち、初期値問題の解はすべての $t \in [0,T]$ において滑らかで一意に存在する。
• 非剛性の結果は、エネルギー推定に連続性の議論を適用することで得られ、近似の誤差が時間とともに増大しないことを示している。
• 主な技術的ステップは、ソボレフ埋蔵定理とホルダーの不等式を用いて、エネルギー不等式内の非線形項を制御することであり、その結果、$O((E_s^{(N)})^{3/2})$ および $O((E_s^{(N)})^{s/2} E_s^{(N)})$ のオーダーの評価が得られる。
• この結果は、非圧縮性オイラー方程式が普遍的であるというより広範な予想を支持しており、コンパクト多様体上での任意の有限次元力学系を符号化可能であることを示唆している。