[論文レビュー] On the Value-Distribution of Hurwitz Zeta-Functions with Algebraic Parameter

Athanasios Sourmelidis, Jörn Steuding|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

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ひとこと要約

本稿は、代数的無理数パラメータ α を持つHurwitzゼータ関数 ζ(s; α) について、Re(s) = 1 の左側の帯状領域において、有効な密度に関する結果を確立し、その導関数がコンパクト集合上で任意の正則関数を一様に近似できることを示している。ディオファントス近似の道具と多項式値に関する有効な推定を用いて、そのような近似が τ ∈ [T, 2T] の正の下付き密度を示すことを示しており、これまでに到達できなかった、代数的無理数パラメータにおける有効な、弱い形の普遍性の初の結果である。

ABSTRACT

We study the value-distribution of the Hurwitz zeta-function with algebraic irrational parameter $\zeta(s;\alpha)=\sum_{n\geq_0}(n+\alpha)^{-s}$. In particular, we prove effective denseness results of the Hurwitz zeta-function and its derivatives in suitable strips containing the right boundary of the critical strip $1+i\mathbb{R}$. This may be considered as a first "weak" manifestation of universality for those zeta-functions.

研究の動機と目的

• 代数的無理数 α に対して、Re(s) = 1 の近傍の帯状領域におけるHurwitzゼータ関数 ζ(s; α) 及びその導関数の有効な稠密性を確立すること。
• 与えられた正則関数をコンパクト集合上で一様に近似するような、τ ∈ [T, 2T] の密度に対する明示的な下界を提供すること。
• 有理数／超越的 α に対する既知の普遍性結果と、未解決の代数的無理数 α の場合との間のギャップを埋めること。
• ε, d(α), H(α) に明示的な依存関係をもつ、このような近似する移動量 τ の存在に関する定量的推定を構築すること。

提案手法

• 臨界帯におけるゼータ関数およびその導関数の大きさを制御するための、ζ(s; α) の近似関数方程式の使用。
• 代数的数における多項式の値の大きさを抑え、0 からの有効な分離を保証するためのリウヴィル型不等式の適用。
• 臨界線付近における ζ(s; α) の値の分布を制御するためのディオファントス近似技術の使用。
• 有効な近似を保証するための、有界な次数および高さを持つ代数的無理数 α の集合 A(Q, M) の構築。
• 対数微分およびテイラー係数に関する有効な境界を用いて、ε および N に依存する近似誤差を制御すること。
• 測度論的議論を用いて、近似条件を満たす τ ∈ [T, 2T] の集合に対する下付き密度推定を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的無理数パラメータ α を持つHurワイツゼータ関数は、臨界帯において任意の正則関数を有効に近似可能か？
• RQ2 近似が成り立つような τ ∈ [T, 2T] の密度に対する明示的な下界は何か？
• RQ3 α の次数および高さは、必要となる T の大きさおよび近似の質にどのように影響するか？
• RQ4 代数的数における多項式値に関する有効な推定を用いて、定量的普遍性結果を導くことができるか？
• RQ5 このような有効な近似が可能な、Re(s) = 1 からの最小距離は何か？

主な発見

• 任意の σ ∈ (1/2, 1] に対して、T が十分に大きく、かつ α が適切な有効集合 A(Q, M) ∩ [A, 1] に属する限り、k = 0, ..., N に対する導関数 ζ(k)(s; α) は、ε の内に与えられた複素数ベクトル (ak) を近似可能である。
• 近似が成り立つ τ ∈ [T, 2T] の集合の下付き密度は、少なくとも 1/2Q − 2Q(1 − Q−2) 以上であり、Q ≥ 2 のとき正である。
• 必要な T は exp(exp(Q²)) のオーダーで増大し、ε, N, d(α), H(α) に明示的に依存しており、すべての定数が有効に計算可能である。
• 近似は有効である：R, Q₀, Q, M, T に対する明示的な境界が ε, σ, N, d, A に依存して与えられている。
• Diophantine近似推定の制約により、この結果は σ ≥ 1 − ξ に制限され、ξ ≈ 0.000746 である。
• 本手法により、弱い形の普遍性が得られる：任意の s₀ = σ₀ + it₀ の周囲の円板上で正則な f に対して、|ζ(s + iτ; α) − f(s)| < 3ε がコンパクト部分集合上で一様に成り立つような τ が存在する。