[論文レビュー] On the vanishing of Selmer groups for elliptic curves over ring class fields

Matteo Longo, Stefano Vigni|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素乗法を持たない $ mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 $E$ に対して、$p$-Selmer 群 $ mathrm{Sel}_p(E/H_c)$ が適切な $p$-進完備化 $ mathcal{W}$ を用いた $\chi$-twist を施すと、$L_K(E,\chi,1) \neq 0$ ならば、$H_c$ 上で消えることを確立する。この結果は、Bertolini と Darmon の先行研究を非通常素数へと拡張し、解析的階数 0 における $\chi$-twist された Birch と Swinnerton-Dyer 猜想の新しい代数的証明を提供する。

ABSTRACT

Let E be a rational elliptic curve of conductor N without complex multiplication and let K be an imaginary quadratic field of discriminant D prime to N. Assume that the number of primes dividing N and inert in K is odd, and let H be the ring class field of K of conductor c prime to ND with Galois group G over K. Fix a complex character χof G. Our main result is that if the special value of the χ-twisted L-function of E/K is non-zero then the tensor product (with respect to χ) of the p-Selmer group of E/H with W over Z[G] is 0 for all but finitely many primes p, where W is a suitable finite extension of Z_p containing the values of χ. Our work extends results of Bertolini and Darmon to almost all non-ordinary primes p and also offers alternative proofs of a χ-twisted version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for E over H (Bertolini and Darmon) and of the vanishing of the p-Selmer group of E/K for almost all p (Kolyvagin) in the case of analytic rank zero.

研究の動機と目的

• 非通常素数 $p$ における楕円曲線の環類体上での $p$-Selmer 群の消滅を一般化すること。
• 解析的階数 0 における $\chi$-twist された Birch と Swinnerton-Dyer 猜想の代替的代数的証明を提供すること。
• $L$-値の非ゼロ性を用いて、ほとんどすべての $p$ に対して $\mathrm{Sel}_p(E/K) = 0$ となる Kolyvagin の結果を拡張すること。
• 平坦コホモロジーを用いて、特異的素数における局所 Selmer 群を制御し、非通常の場合の取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 類体論を用いて、$H_c/K$ のガロア群 $G_c = \mathrm{Gal}(H_c/K)$ を、$\mathcal{O}_c$ という導法 $c$ の整数環のピック群 $\mathrm{Pic}(\mathcal{O}_c)$ と同定する。
• $\mathcal{W}$、すなわち $\mathbb{Z}[\chi]$ の $p$-進完備化を用いて、$p$-Selmer 群 $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$ を $\chi$-twist する。
• 平坦コホモロジー群を用いて、特に特異的の場合に、良い還元を示す素数における局所 Kummer 写像の像を制御する。
• 奇数個の分解しない素数が $N^-$ を割るため、$L_K(f,\chi,s)$ の関数方程式の符号が $+1$ であることに依存する。
• Knospe や Darmon-Iovita の影響を受けて、非通常 $p$ を取り扱うために Iwasawa 理論的技法を適用する。
• $E(H_c) \otimes \mathbb{C}$ の $\chi$-固有空間への分解を用いて、$E(H_c)^\chi$ の消滅を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非通常素数 $p$ に対して、$\chi$-twist を施した $\mathrm{Sel}_p(E/H_c)$ がどのような条件下で消えるか。
• RQ2 $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ のとき、$\chi$-twist された Birch と Swinnerton-Dyer 猜想を代数的に証明できるか。
• RQ3 すべての $p^n$（$n \geq 1$）に対して、$\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W}$ が消えるか、有限個の例外を除いて成り立つか。
• RQ4 特異的素数における局所 Selmer 群を代数的にどのように制御すれば、通常還元を超えて結果を拡張できるか。

主な発見

• $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ ならば、すべての $p$ に対して $\mathrm{Sel}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W} = 0$ が成り立つ。
• 同じ条件下で、$\chi$-twist されたシャファレヴィッチ＝テイト群 $\mbox{\cyr{X}}_p(E/H_c) \otimes_\chi \mathcal{W}$ に対しても消滅が成り立つ。
• 純粋に代数的なテンソル積の議論により、$p$ のみでなく $p^n$（$n \geq 1$）に対しても成り立つ。
• この結果は、Bertolini と Darmon が以前に除外していた無限個の非通常素数 $p$、特に特異的素数を含む。
• $L_K(E,\chi,1) \neq 0$ のとき、Mordell–Weil 群 $E(H_c)^\chi$ が消える。これは、Bertolini と Darmon の結果を回復する。
• 平坦コホモロジーを用いて、$p$-進位相における局所 Kummer 写像を制御し、非通常 $p$ の取り扱いを可能にする。