[論文レビュー] On the Wiener index, distance cospectrality and transmission regular graphs

Aida Abiad, Boris Brimkov+6 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Graph theory and applications参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的グラフ理論的手法を用いて、直径やウィーナー指数が異なる無限族のD-共スペクトルグラフを構成することで、ウィーナー指数、距離共スペクトル性、トランスミッション正則グラフを調査する。k-トランスミッション正則グラフの行和（k）に対するタイトな境界を確立し、線形k-ツリーおよびブロッククラフトグラフのウィーナー指数について、ラプラシアン固有値を用いた閉形式の式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate various algebraic and graph theoretic properties of the distance matrix of a graph. Two graphs are $D$-cospectral if their distance matrices have the same spectrum. We construct infinite pairs of $D$-cospectral graphs with different diameter and different Wiener index. A graph is $k$-transmission-regular if its distance matrix has constant row sum equal to $k$. We establish tight upper and lower bounds for the row sum of a $k$-transmission-regular graph in terms of the number of vertices of the graph. Finally, we determine the Wiener index and its complexity for linear $k$-trees, and obtain a closed form for the Wiener index of block-clique graphs in terms of the Laplacian eigenvalues of the graph. The latter leads to a generalization of a result for trees which was proved independently by Mohar and Merris.

研究の動機と目的

• D-共スペクトルグラフが同じ直径または同じウィーナー指数を持つ必要があるかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 頂点数を用いてk-トランスミッション正則グラフの行和（k）のタイトな境界を確立すること。
• スペクトル的性質を用いて、線形k-ツリーおよびブロッククラフトグラフのウィーナー指数の閉形式の式を導出すること。
• ラプラシアン固有値を用いて、既知の木に対するウィーナー指数の結果をより広いグラフクラスへ一般化すること。

提案手法

• 代数的グラフ理論的手法を用いて、直径やウィーナー指数が異なる無限族のD-共スペクトルグラフを構成する。
• k-トランスミッション正則グラフの距離行列の行和がn−1から⌊n²/4⌋の間で有界であり、両端がタイトであることを証明する。
• 再帰的頂点ラベル付けと距離行列の分解を用いて、線形k-ツリーのウィーナー指数を計算する。
• ラプラシアン行列およびその固有値を用いて、ブロッククラフトグラフのウィーナー指数の閉形式の式を導出する。
• 対角グループ化と和の計算技術を用いて、極値の線形k-ツリーにおける総距離和を評価する。
• スペクトルグラフ理論を活用し、モハールおよびメリスの木に対する結果をブロッククラフトグラフへ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D-共スペクトルグラフは必然的に同じ直径を持つのか？
• RQ2 D-共スペクトルグラフは必然的に同じウィーナー指数を持つのか？
• RQ3 nを用いて、k-トランスミッション正則グラフのトランスミッションkのタイトな境界は何か？
• RQ4 線形k-ツリーのウィーナー指数について、閉形式の式を導出できるか？
• RQ5 ブロッククラフトグラフのウィーナー指数は、そのラプラシアン固有値とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、直径およびウィーナー指数が異なる無限組のD-共スペクトルグラフを構成し、両方の問いに否定的な答えを与えた。
• k-トランスミッション正則グラフにおいて、行和kはn−1 ≤ k ≤ ⌊n²/4⌋を満たし、両端がタイトである。
• n頂点の線形k-ツリーのウィーナー指数は、(k² + k)/2 + n² − kn − n以上で抑えられ、支配頂点を持つ木で等号が成立する。
• 線形k-ツリーのウィーナー指数の上界は、j = ⌊(n−1)/k⌋として、(j+1)(2j²k² + jk(3 + k − 6n) + 6n² − 6n)/12で与えられ、特定の極値構成で達成される。
• ブロッククラフトグラフのウィーナー指数について、ラプラシアン固有値を用いた閉形式の式が導出され、モハールおよびメリスによる木に対する結果が一般化された。
• 再帰的頂点ラベル付けと距離行列走査を用いて、線形k-ツリーのウィーナー指数をO(kn²)時間で計算可能である。