[論文レビュー] On the Woodin Construction of Failure of GCH at a Measurable Cardinal

Yoav Ben Shalom|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化連続体仮説（GCH）が可測基数 $\kappa$ で成立しないようにするウーディンの構成を精緻化し、以前に必要とされていた追加の強制ステップを削除することを示している。すべての非可換基数 $\alpha \leq \kappa$ に対して $\alpha^{+\gamma}$ を吹き増やすために、コーエン強制のエイストン・サポート反復を用いることで、仮定 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ の下で、初等的埋め込み $j: V \to M$ が $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ において直接的に持ち上げられ、定義可能であることを証明する。主な貢献は、追加の強制を必要とせず、最小限の強制構成によって $\kappa$ における GCH の失敗を達成する洗練された構成である。

ABSTRACT

Let GCH hold and let $j:V\longrightarrow M$ be a definable elementary embedding such that $crit(j)=κ$, $^κM\subseteq M$ and $κ^{++}=κ_{M}^{++}$. H. Woodin proved that there is a cofinality preserving generic extension in which $κ$ is measurable and GCH fails at it. This is done by using an Easton support iteration of Cohen forcings for blowing the power of every inaccessible $α\leqκ$ to $α^{++}$, and then adding another forcing on top of that. We show that it is enough to use the iterated forcing, and that the latter forcing is not needed. We will show this not only for the case where $κ^{++}=κ_{M}^{++}$, but for every successor ordinal $γ$, where $0< γ< κ$, we will show it when the assumption is $κ^{+γ}=κ_{M}^{+γ}$.

研究の動機と目的

• 可測基数 $\kappa$ における GCH の失敗を保ちつつ、 cofinality を保存するウーディンの構成を洗練すること。
• エイストン・サポート反復を超えて、初等的埋め込み $j$ を持ち上げるために必要とされていた追加の強制ステップを排除すること。
• 元々 $\gamma = 2$ の場合に限られていた構成を、$0 < \gamma < \kappa$ なるすべての後続順序数 $\gamma$ に一般化すること、ただし仮定 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ を仮定する。
• $\mathbb{P}^\gamma$ の拡張 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ において、埋め込み $j$ を直接持ち上げ、さらに追加の強制を必要とせずに定義可能性を保つこと。

提案手法

• 非可換基数 $\alpha \leq \kappa$ に対して $\mathbb{Q}_\alpha = \mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})_{V[G_\alpha]}$ とし、それ以外は自明な強制を用いるエイストン・サポート反復 $\mathbb{P}^\gamma = \mathbb{P}_{\kappa+1}^\gamma$ を用いる。
• 追加の強制拡張を必要としない直接的な構成により、定義可能な初等的埋め込み $j: V \to M$ を $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ に持ち上げる。
• $M[G \ast g \ast H]$ 内の帰納法と閉包性質を用いて、$j(\kappa)$ から $j(\gamma)$ への一対一の部分関数 $f_i$ の列を構成し、それぞれの像が $S_i'$ に一致するようにする。
• 超冪埋め込みと拡張モデルの構造を活用し、持ち上げられた埋め込みの像が拡張内でも適切に整然としており、定義可能であることを保証する。
• 臨界点の共終型に関する帰納法を用い、$T_l^i$ と $i(\gamma_l^i)_0$ の性質を用いて、集合の像を制御する。
• $|I| = \gamma = |j(\kappa)|$ であることと、$M[G \ast g \ast H]$ 内で $j(\kappa)$ を $|I|$ 個の互いに素な部分集合に分割することで、単射性と定義域の被覆性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウーディンの元々の構成における余分な強制ステップは、可測基数 $\kappa$ における GCH の失敗を達成する中で削除可能か？
• RQ2 仮定 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ の下で、$V^{\mathbb{P}^\gamma}$ において埋め込み $j: V \to M$ を追加の強制を伴わず直接持ち上げることは可能か？
• RQ3 $\gamma = 2$ の場合から、$\gamma < \kappa$ なるすべての後続順序数 $\gamma$ に構成を一般化することは可能か？
• RQ4 反復強制のみを用いた場合、拡張 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ において埋め込み $j$ の定義可能性は保たれるか？

主な発見

• この論文は、埋め込み $j$ を持ち上げるために以前に必要とされていた追加の強制ステップが不要であることを証明しており、$\mathbb{P}^\gamma$ の反復エイストン・サポート強制だけでも、$V^{\mathbb{P}^\gamma}$ において $j$ を持ち上げつつ定義可能性を保つことができることを示している。
• $0 < \gamma < \kappa$ なるすべての後続順序数 $\gamma$ に対して、$\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ ならば、$\mathbb{P}^\gamma$ が $j$ を $V^{\mathbb{P}^\gamma}$ に持ち上げつつ定義可能性を保つ。
• すべての非可換基数 $\alpha \leq \kappa$ に対して、$\mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})$ を用いて $\alpha^{+\gamma}$ を $\alpha^{+\gamma}$ に吹き増やすことで、共終型の保存が保証される。
• 持ち上げは、$j(\kappa)$ から $j(\gamma)$ への一対一関数 $f_i$ の列の直接的構成により達成され、それぞれの像が $S_i'$ を被覆する。その和集合 $f = \bigcup f_i$ は $j(\kappa)$ から $j(\gamma)$ への全単射である。
• 主な技術的革新は、$|I| = \gamma = |j(\kappa)|$ である列 $\langle f_i \mid i \in I \rangle$ の使用であり、各 $f_i$ は $A_i$ と $B_i$ を用いて帰納的に構成され、定義域の互いに素性と単射性を保証する。
• 証明により、$P_{j(\kappa)^+}(j(\gamma))^{M[G \ast g \ast H]}$ 内の任意の $Y$ に対して、$Y \subseteq f''Z$ となる $Z \in M[G \ast g \ast H]$ が存在することが示され、拡張内での必要な閉包性と定義可能性が確認される。