[論文レビュー] On Titchmarsh-Weyl functions of first-order symmetric systems with arbitrary deficiency indices

Sergio Albeverio, M. M. Malamud+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意（おそらく不等価な）欠損指数を有する1階対称系の包括的なスペクトル理論を、分解型境界三つ組を用いて構築する。一般化された $m$-関数をティッチマース・ウイルズ係数の類似物として導入し、ネヴァンリンナ境界条件を介してパラメータ化し、すべての $m$-関数に対してクリーン型の公式を確立する。これにより、古典的結果が非ハミルトニアンおよび不等価欠損指数の設定へと拡張される。

ABSTRACT

We study general (not necessarily Hamiltonian) first-order symmetric systems $J y'(t)-B(t)y(t)=\D(t) f(t)$ on an interval $[a,b> $ with the regular endpoint $a$. The deficiency indices $n_\pm$ of the corresponding minimal relation $\Tmi$ may be arbitrary (possibly unequal). Our approach is based on the concept of a decomposing boundary triplet, which enables one to parametrize various classes of extensions of $\Tmi$ (self-adjoint, $m$-dissipative, etc.) in terms of boundary conditions imposed on regular and singular values of a function $y\in \dom ma$ at the endpoints $a$ and $b$ respectively. In particular, we describe self-adjoint and $ł$-depending Nevanlinna boundary conditions which are analogs of separated ones for Hamiltonian systems. With a boundary value problem involving such conditions we associate the $m$-function $m(\cd)$, which is an analog of the Titchmarsh-Weyl coefficient for the Hamiltonian system. In the simplest case of minimal (unequal) deficiency indices $n_\pm$ the $m$-function $m(\cd)$ coincides with the rectangular Titchmarsh-Weyl coefficient introduced by Hinton and Schneider. We parametrize all $m$-functions in terms of the Nevanlinna boundary parameter at the endpoint $b$ by means of the formula similar to the known Krein formula for resolvents. Application of these results to differential operators of an odd order enables us to complete the results by Everitt and Krishna Kumar on the Titchmarsh-Weyl theory of such operators.

研究の動機と目的

• 任意の欠損指数 $n_+ \neq n_-$ を有する1階対称系へのティッチマース・ウイルズ理論の拡張、特に古典的ハミルトニアンの場合を越えて行う。
• 端点における正則および特異値を含む境界条件を用いて、自己共役および $m$-発散的拡張をパラメータ化すること。
• 非ハミルトニアン系に対して、ティッチマース・ウイルズ係数の類似物としての一般化された $m$-関数の導入と特徴付け。
• 特異端点 $b$ におけるネヴァンリンナ境界パrameter を用いて、すべての $m$-関数を関連付けるクリーン型の公式の確立。
• エヴァリットおよびクリシュナ・クマールが先行して研究した奇数階微分作用素のスペクトル理論を完成させるためのフレームワークの適用。

提案手法

• 正則および特異端点における境界条件を用いて、最小関係 $T_{\min}$ の拡張をパラメータ化するため、分解型境界三つ組の概念を用いる。
• $m$-関数 $m_\tau(\lambda)$ を、系の解 $v_\tau(t,\lambda)$ が $v_\tau(t,\lambda) = Y_1(t,\lambda)m_\tau(\lambda) + Y_2(t,\lambda)$ を満たし、$L^2$-可積分性および境界条件を満たすような一意的演算子関数として定義する。
• $J$ を $H \oplus \widehat{H} \oplus H$ 上のブロック行列とし、$\Delta \geq 0$、$B = B^*$ である系 $Jy' - By = \lambda\Delta y + \Delta f$ に理論を適用する。
• 特異端点 $b$ における境界値 $[y, \chi_j]_b$ を用いて、ハミルトニアン系の分離型条件を一般化するネヴァンリンナ境界条件を導入する。
• $\tau \in \widetilde{R}_\alpha(\widetilde{\mathcal{H}}_b, \mathcal{H}_b)$ における境界パrameter を用いて、$m$-関数のクリーン型の公式を導出し、$n_+ \leq n_-$ および $n_+ < n_-$ の両ケースに有効であることを示す。
• 微分作用素 $l[y]$ および関連する $m$-関数 $m_\tau(\cdot)$ を用いて結果を再定式化し、$n_+ < n_-$ の場合に特定の三角行列構造を持つネヴァンリンナ演算子関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の欠損指数を有する1階対称系へのティッチマース・ウイルズ理論をどのように一般化できるか？
• RQ2 ハミルトニアンでない系で $n_+ \neq n_-$ の場合に、ティッチマース・ウイルズ係数の適切な類似物は何か？
• RQ3 端点 $b$ における特異値を含む境界条件を用いて、自己共役および $m$-発散的拡張をどのようにパラメータ化できるか？
• RQ4 任意の欠損指数を有する系において、$m$-関数に対してクリーン型の公式を確立できるか？
• RQ5 このフレームワークは、エヴァリットおよびクリシュナ・クマールが研究した奇数階微分作用素のスペクトル理論をどのように完成させるか？

主な発見

• $m$-関数 $m_\tau(\lambda)$ はネヴァンリンナ演算子関数であり、$n_+ < n_-$ の場合、(5.20)および(5.21)に示されるように三角行列型の演算子形式を有する。
• 一般化された $m$-関数は、欠損指数が不等価である最小ケースにおいて、ハントンとシュナイダーが導入した長方形ティッチマース・ウイルズ係数と一致する。
• すべての $m$-関数は、端点 $b$ におけるネヴァンリンナ境界パrameter $\tau$ を用いてパラメータ化され、クリーンのリゾルベント公式に類似した公式が成り立つ。
• 系の解 $v_\tau(t,\lambda)$ は $m$-関数によって一意に定まり、$a$ および $b$ における $L^2$-可積分性および指定された境界条件を満たす。
• このフレームワークにより、特異境界値 $[y, \chi_j]_b$ を含むネヴァンリンナ境界条件を用いて、自己共役拡張を完全にパラメータ化できる。
• 結果として、奇数階微分作用素のティッチマース・ウイルズ理論が完全に完成し、エヴァリットおよびクリシュナ・クマールの研究における未解決問題が解消される。