[論文レビュー] On topological properties of the group of the null sequences valued in an Abelian topological group

Saak Gabriyelyan|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル位相群 X に値をとる零列のなす群 𝔉₀(X) が一様位相を備えたものとして、その位相的性質を調査する。X が (E)-空間、厳密角尖性空間、または Š-空間であるとき、𝔉₀(X) も同様の性質を引き継ぐことを示している。局所コンパクトアーベル群に対しては、全不連結性、シュール性、コンパクト性の尊重、シュワーツ群構造がすべて同値であることを証明し、𝔉₀(X) が反射的であるかシュール性を有するかの完全な特徴付けを与える。

ABSTRACT

Following [23], denote by $\mathfrak{F}_0$ the functor on the category $\mathbf{TAG}$ of all Hausdorff Abelian topological groups and continuous homomorphisms which passes each $X\in \mathbf{TAG}$ to the group of all $X$-valued null sequences endowed with the uniform topology. We prove that if $X\in \mathbf{TAG}$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space), then $\mathfrak{F}_0 (X)$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space). We study respected properties for topological groups in particular from categorical point of view. Using this investigation we show that for a locally compact Abelian (LCA) group $X$ the following are equivalent: 1) $X$ is totally disconnected, 2) $\mathfrak{F}_0 (X)$ is a Schwartz group, 3) $\mathfrak{F}_0 (X)$ respects compactness, 4) $\mathfrak{F}_0(X)$ has the Schur property. So, if a LCA group $X$ has non-zero connected component, the group $\mathfrak{F}_0(X)$ is a reflexive non-Schwartz group which does not have the Schur property. We prove also that for every compact connected metrizable Abelian group $X$ the group $\mathfrak{F}_0 (X)$ is monothetic that generalizes a result by Rolewicz for $X=\mathbb{T}$.

研究の動機と目的

• X-値零列のなす群 𝔉₀(X) が一様位相を備えたときの位相的性質を特徴付けること。
• 基底群 X が (E)-空間、厳密角尖性空間、または Š-空間であるとき、𝔉₀(X) がそれらの性質をどのように引き継ぐかを特定すること。
• 局所コンパクトアーベル群において、全不連結性、シュール性、コンパクト性の尊重、シュワーツ性の間で完全な同値関係を確立すること。
• 𝔉₀(𝕋) の単生成性に関する既知の結果を、すべてのコンパクト連結メトライズブルアーベル群へ一般化すること。
• Hausdorff アーベル位相群の圏における 𝔉₀ および関連関手の函手的性質を調査すること。

提案手法

• 本稿は、各アーベル位相群 X を X-値零列のなす群（一様位相を備える）に写す関手 𝔉₀: TAG → TAG を定義する。
• カテゴリカルな道具を用い、(E)-空間、角尖性、Š-空間などの性質が X から 𝔉₀(X) へどのように保存・不変化するかを分析する。
• ボール関手および特性群に関する既知の結果を応用し、𝔉₀(X) における双対性および反射性を分析する。
• グリックスバーグの定理および関連する双対性理論を用いて、局所コンパクトアーベル群において、コンパクト性の尊重、シュール性、シュワーツ群構造の間の同値性を確立する。
• ロエルヴィッツの結果を 𝕋 に対して拡張することで、コンパクト連結メトライズブルアーベル群 X に対して 𝔉₀(X) が単生成であることを証明する。
• 無限の添え字集合 I に対して、関手 𝔉₀ᴵ、𝔉∞ᴵ、𝔉ᴵ の双対群および反射性に関する未解決問題を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X が (E)-空間、厳密角尖性空間、または Š-空間であるとき、零列群 𝔉₀(X) は基底群 X からその位相的性質をどのように引き継ぐか。
• RQ2 局所コンパクトアーベル群 X に対して、𝔉₀(X) がシュワーツ群である、コンパクト性を尊重する、またはシュール性を有するのはいつか。
• RQ3 𝔉₀(X) が反射的であるのはいつか、そしてこれは X の位相的構造とどのように関係するか。
• RQ4 任意のコンパクト連結メトライズブルアーベル群 X に対して、零列群 𝔉₀(X) は単生成的か。
• RQ5 コンパクト LCA 群 X に対して、𝔉∞(X) の双対群の構造は何か。また、これらの群がいつ反射的になるか。

主な発見

• X が (E)-空間、厳密角尖性空間、または Š-空間であるならば、𝔉₀(X) も同様の性質を有する。
• 局所コンパクトアーベル群 X に対して、以下の4つは同値である：(1) X は全不連結、(2) 𝔉₀(X) はシュワーツ群、(3) 𝔉₀(X) はコンパクト性を尊重する、(4) 𝔈₀(X) はシュール性を有する。
• X が非自明な連結成分をもつ局所コンパクトアーベル群であるとき、𝔉₀(X) は反射的ではあるがシュワーツ群ではなく、シュール性も持たない。
• 任意のコンパクト連結メトライズブルアーベル群 X に対して、群 𝔉₀(X) は単生成的である。これはロエルヴィッツの 𝕋 に対する結果の一般化である。
• 任意の局所コンパクトアーベル群 X に対して、𝔉₀(X) は反射的であるが、𝔉∞(X) の双対群は完全には記述されていない。ただし、X=𝕋 のときその濃度は 2^𝔠 であることが知られている。
• 本稿は、無限添え字集合 I に対して関手 𝔉₀ᴵ、𝔉∞ᴵ、𝔉ᴵ の双対性および反射性に関する未解決問題を特定している。