[論文レビュー] On what I do not understand (and have something to say), model theory

Saharon Shelah|ArXiv.org|Oct 28, 1999

Advanced Topology and Set Theory参考文献 49被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、モデル理論における未解決問題についての個人的で非標準的な探求を提示しており、二基数定理、分割定理、および集合論と組合せ論との関係に焦点を当てる。二基数性質の分割関係における恒等式による特徴付けを導入し、$(\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0)$ に対する新しい二基数定理を証明し、ハイルズ＝ジュエット数や群の作用による色分けに関する境界を含む、有限および無限の分割関数を調査する。

ABSTRACT

This is a non-standard paper, containing some problems, mainly in model theory, which I have, in various degrees, been interested in. Sometimes with a discussion on what I have to say; sometimes, of what makes them interesting to me, sometimes the problems are presented with a discussion of how I have tried to solve them, and sometimes with failed tries, anecdote and opinion. So the discussion is quite personal, in other words, egocentric and somewhat accidental. As we discuss many problems, history and side references are erratic, usually kept at a minimum ("See..." means: see the references there and possibly the paper itself). The base were lectures in Rutgers Fall '97 and reflect my knowledge then. The other half, math.LO/9906113, concentrating on set theory, is in print, but the two halves are independent. We thank A. Blass, G. Cherlin and R. Grossberg for some corrections.

研究の動機と目的

• ZFCからの独立性にかかわる未解決のモデル理論問題、特に二基数定理を探索すること。
• $(\lambda, \mu)$-関係における恒等式の概念を通じて、二基数定理と分割関係との関係を調査すること。
• 恒等式に基づく特徴付けを用いて、二基数定理 $(\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0)$ の新しい証明を提供すること。
• 有限および無限の分割関数を研究し、ハイルズ＝ジュエット数との関係を含む境界を調べること。
• 群作用および組合せ的色分けにおける単色配置の存在性と性質を検討すること。

提案手法

• 恒等式 $\text{Id}(\lambda, \mu)$ を用いた二基数定理の特徴付け、ここで $ (\lambda, \mu) \rightarrow (\lambda_1, \mu_1) $ であるのは $ \text{Id}(\lambda, \mu) \supseteq \text{Id}(\lambda_1, \mu_1) $ であるとき。
• $\text{Ded}'(\mu)$ の木構造および線形順序による特徴付けを用いて、$ \text{Ded}'(\mu_2) > \mu_1 \geq \mu_2 $ のとき $ (\lambda^{+\omega}, \lambda) \rightarrow (\mu_1, \mu_2) $ を証明する。
• ハイルズ＝ジュエット定理およびその多次元版を適用して、分割関数 $ f^{10}_\Lambda(m,c) $ および $ f^9_* $ を $ HJ(|\Lambda|^m, c) $ の項で境界づける。
• $ f^{12}(m,c) $ を、任意の $ c $-色分けが $ \text{seq}([0,k)) $ に対してある $ \bar{\eta} \in \text{seq}^*_m(A) $ の $ \text{son}(\bar{\eta}) $ を単色に持つような最小の $ k $ として定義し、解析する。
• 群に基づく分割関係 $ G \rightarrow (Y,H)_{\kappa} $（ここで $ Y \subseteq H $）を導入し、$ \kappa $-色分けにおける単色埋め込みを研究する。
• 複雑な分割問題を、特に $ \Lambda^* $-に基づく構成と制限写像を介して、木構造、列、置換群などの組合せ的構造に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的定理を超える非自明なZFC証明可能な $ n $-基数定理は存在するのか、それともすべてが基数算術の仮定に依存するのか？
• RQ2 $ (\lambda, \mu) \nrightarrow (\lambda, \mu) $ が $ \lambda \geq \mu $ のある $ \lambda $ に対して一貫しているか、すなわち $ (\lambda, \mu) $ が $ \aleph_0 $-コンパクトでないか？
• RQ3 ハイルズ＝ジュエット数から導かれるものより、分割関数 $ f^8, f^9, f^{10} $ のためのより良い境界を与えることは可能か？
• RQ4 $ f^{12}(m,c) $ はすべての $ m, c $ に対して有限か、すなわち任意の $ c $-色分けが $ \text{seq}([0,k)) $ に対してある $ \bar{\eta} \in \text{seq}^*_m(A) $ の単色 $ \text{son}(\bar{\eta}) $ を持つか？
• RQ5 有限置換群 $ H $ に対して、ある共役類 $ Y $ および有限 $ c $ に対して $ G \rightarrow (Y,H)_c $ を満たす群 $ G $ が存在するか、特に $ Y $ が対合からなる場合に？

主な発見

• $ (\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0) $ の二基数定理は、$ \text{Ded}'(\mu) $ を用いた特徴付けにより証明され、$ \text{Ded}'(\mu_2) > \mu_1 \geq \mu_2 $ のとき成立することが示された。
• $ (\lambda, \mu) \rightarrow_{\kappa} (\lambda_1, \mu_1) $ が成り立つのは $ \text{Id}(\lambda, \mu) \supseteq \text{Id}(\lambda_1, \mu_1) $ と同値であり、$ \Rightarrow $ は常に成り立ち、$ \Leftarrow $ は $ \mu_1 = \mu^{\aleph_0} $ のような条件下でも成り立つ。
• $ f^{10}_\Lambda(m,c) $ は $ m \times HJ(|\Lambda|^m, c) $ で境界づけられ、ハイルズ＝ジュエット数に近いことが示された。
• $ f^9_* $ は $ f^9_*(\Gamma)(m,c) \leq m \times HJ(|\Gamma|^m, c) $ を満たし、類似した成長様式を示している。
• $ |\Lambda^*| $-次元のヴァン・ダール・ワーデン定理を用いて、$ \{\bar{\ell}^*, \bar{\ell}^\alpha : \alpha \in \Lambda^* \} $ の $ d $-単色配置の存在が確立され、$ (\aleph_\omega, \aleph_0) \rightarrow (2^{\aleph_0}, \aleph_0) $ の証明における主要な主張が証明された。
• 本論文は、$ f^{12}(m,c) $ が有限であることと、任意の $ c $-色分けが $ \text{seq}([0,k)) $ に対してある $ \bar{\eta} \in \text{seq}^*_m(A) $ の単色 $ \text{son}(\bar{\eta}) $ を持つこととが同値であり、これは群作用および置換対称性と関連していることを示した。