[論文レビュー] On Turing machines, dynamical systems and the Atiyah problem

Łukasz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、M. Atiyahのl^2ベッチ数に関する問題の主要な側面を解決し、すべての非負実数がl^2ベッチ数であることを示し、特に非負の代数的数が、単連結多様体における自由でコンパクトな群作用を介して実現可能であることを示している。中心的な革新は、チューリング機械を整数群環に埋め込むことで、三重のラムプライト群Z/2 ≀ Zの直積の作用の下で、超越的l^2ベッチ数を持つ単連結多様体を構成可能にしたことにある。

ABSTRACT

Main theorems of the article concern the problem of M. Atiyah on possible values of l^2-Betti numbers. It is shown that all non-negative real numbers are l^2-Betti numbers, and that many (for example all non-negative algebraic) real numbers are l^2-Betti numbers of simply connected manifolds with respect to a free cocompact action. Also an explicit example is constructed which leads to a simply connected manifold with a transcendental l^2-Betti number with respect to an action of the threefold direct product of the lamplighter group Z/2 wr Z. The main new idea is embedding Turing machines into integral group rings. The main tool developed generalizes known techniques of spectral computations for certain random walk operators to arbitrary operators in groupoid rings of discrete measured groupoids.

研究の動機と目的

• l^2ベッチ数の取り得る値に関するM. Atiyahの未解決問題に取り組む。
• 自由でコンパクトな群作用の下で、単連結多様体のl^2ベッチ数として現れることができる実数を特定する。
• 超越的l^2ベッチ数を実現する明示的な多様体の例を構成する。
• 離散測度付き群系列の群環における一般の作用素へのスペクトル計算技法の一般化を確立する。

提案手法

• チューリング機械を整数群環に埋め込み、決定不能問題を代数的構造に符号化する。
• ランダムウォーク作用素に限らない、離散測度付き群系列の群環における一般作用素へのスペクトル計算手法を拡張する。
• ラムプライト群Z/2 ≀ Zの三重直積の構造を活用し、特異なl^2ベッチ数を実現する。
• 自由でコンパクトな作用を備えた単連結多様体を構築し、望ましいl^2ベッチ数を実現する。
• 一般化されたスペクトル技法を用いて、複雑な群系列環作用素の存在下でのl^2ベッチ数を計算する。
• チューリング機械によって符号化された決定不能性を活用し、l^2ベッチ数スペクトルに超越的値を生じさせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由でコンパクトな群作用の下で、単連結多様体のl^2ベッチ数として現れる実数はどれか？
• RQ2 多様体における群作用の文脈で、超越的数がl^2ベッチ数として現れる可能性はあるか？
• RQ3 群系列環におけるスペクトル計算技法は、ランダムウォーク作用素を超えてどの程度一般化可能か？
• RQ4 チューリング機械の決定不能性を代数的に符号化することで、l^2ベッチ数のような幾何的不変量にどのように影響を与えるか？
• RQ5 三重のラムプライト群の直積は、特異なl^2ベッチ数を実現するためにどの程度の役割を果たすか？

主な発見

• すべての非負実数が実現可能であり、Atiyahの予想の主要なケースが解決された。
• すべての非負の代数的実数が、自由でコンパクトな群作用の下で単連結多様体のl^2ベッチ数として実現可能である。
• 明示的な構成により、(Z/2 ≀ Z)^3の作用の下で超越的l^2ベッチ数を持つ単連結多様体が得られた。
• 一般化されたスペクトル法により、群系列環における任意の作用素のl^2ベッチ数の計算が可能となり、既知の技法が拡張された。
• チューリング機械を整数群環に埋め込むことで、任意の代数的および超越的値を持つl^2ベッチ数を生成するメカニズムが得られた。
• ラムプライト群の三重直積は、超越的l^2ベッチ数を持つ多様体を実現するのに十分な群作用を提供する。