[論文レビュー] On uniform decay of the Maxwell fields on black hole space-times

Sari Ghanem|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、スカラー波方程式への還元や球面調和関数への分解に依存せずに、エネルギー推定とソボレフ不等式のみを用いて、シュワルツシルトブラックホール時空上でのマクスウェル場の均一な減衰を確立する。主な貢献は、中間成分のモラウェッツ型推定が成り立つという仮定の下で、ゲージに依存しない減衰の証明であり、これがマクスウェル方程式から直接示された場合、ブラックホール上でのマクスウェルおよびヤン・ミルズ場に対する完全に概念的な証明が得られる。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers in which we take a systematic study of gauge field theories such as the Maxwell equations and the Yang-Mills equations, on curved space-times. In this paper, we study the Maxwell equations in the domain of outer-communication of the Schwarzschild black hole. We show that if we assume that the middle components of the non-stationary solutions of the Maxwell equations verify a Morawetz type estimate supported around the trapped surface, then we can prove uniform decay properties for components of the Maxwell fields in the entire exterior of the Schwarzschild black hole, including the event horizon, by making only use of Sobolev inequalities combined with energy estimates using the Maxwell equations directly. This proof is entirely gauge independent, and does not pass through the scalar wave equation on the Schwarzschild black hole, and does not need to separate the middle components for the Maxwell fields. However, proving a Morawetz estimate directly using the Maxwell equations, without refering to the scalar wave equation, seems to be out of reach of the mathematical community as of today; which I was not able to solve yet in this work. If one is able to prove the Morawetz estimate directly using the Maxwell equations, this combined with the present work would give full conceptual proof of decay of the Maxwell fields on the Schwarzschild black hole, and would then be in particular useful for the non-abelian case of the Yang-Mills equations where the separation of the middle components cannot occur. The whole manuscript is written in an expository way where we detail all the calculations.

研究の動機と目的

• スカラー波方程式への還元を一切行わず、ゲージに依存しない方法でシュワルツシルト時空上でのマクスウェル場の均一な減衰を直接証明すること。
• 球面調和関数への分解や中間成分の分離を回避すること。これは非アーベルのヤン・ミルズ系では不可能であるため。
• マクスウェルのエネルギー運動量テンソルとソボレフ不等式のみを用いて、イベントホライズンを含む外領域全域における減衰推定を確立すること。
• 非定常（非クーロン）解に対して0階微分レベルでのモラウェッツ型推定が、均一な減衰を導くために十分であるという最小限の仮定を同定すること。

提案手法

• 証明は、マクスウェル方程式から直接導かれるエネルギー推定に依存する。
• ソボレフ不等式を用いて、$L^2$ エネルギーの境界から、場の成分の点ごとの減衰を制御する。
• 二重ニューロン座標 $(v, w)$ を用い、計量構造を単純化するためのスケーリング済みベクトル場 $\hat{\partial}/\partial v$, $\hat{\partial}/\partial w$, $\hat{\partial}/\partial \theta$, $\hat{\partial}/\partial \varphi$ を導入する。
• ベクトル場の変形テンソルを計算し、エネルギー運動量テンソルがベクトル場の流れの下でどのように振る舞うかを分析する。
• 領域 $r_0 < r < R_0$ において、$F_{\hat{v}\hat{w}}$ および $F_{\hat{\varphi}\hat{\theta}}$ 成分に対してモラウェッツ型推定を仮定し、統合されたエネルギーフラックスを制御する。
• 球面調和関数への分解やスカラー波方程式への還元を一切避け、完全なゲージ不変性を保ったままの手法を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュワルツシルト上でのマクスウェル場の均一な減衰は、スカラー波方程式への還元や球面調和関数への分解を避け、直接証明可能か？
• RQ2 外領域全域（イベントホライズンを含む）での均一な減衰を保証するための、場の成分に対する最小限の仮定は何か？
• RQ3 中間成分の分離を避け、エネルギー運動量テンソルとソボレフ不等式のみを用いてマクスウェル場の減衰推定を導出可能か？
• RQ4 このような手法は、成分の分離が不可能な非アーベルのヤン・ミルズ系へ一般化可能か？
• RQ5 中間成分に対するモラウェッツ型推定は、完全に概念的な減衰証明を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非定常マクスウェル場に対して0階微分レベルでのモラウェッツ型推定を仮定した場合、シュワルツシルトブラックホールの外領域全域において、すべての場の成分の均一な点ごとの減衰が確立される。
• すべての成分 $F_{\hat{\mu}\hat{\nu}}$ に対して、$O(1/|v|)$ および $O(1/|w|)$ の減衰率が、$v, w \in \mathbb{R}$ のすべての値で成り立ち、イベントホライズン上でも有効である。
• 証明は完全にゲージに依存せず、スカラー波方程式や球面調和関数への分解を一切用いない。
• $r^*$-正則化座標とスケーリング済みベクトル場の使用により、イベントホライズン付近まで均一に適用可能であり、$r = 2m$ で減衰の強度が低下しない。
• 領域 $r_0 < r < R_0$ を通過するエネルギーフラックスは、初期エネルギーと角運動量フラックスによって制御され、モラウェッツ推定が時間方向の $L^1$ 制御を提供する。
• 結果はリー微分の作用に対しても安定であり、同じエネルギー-ソボレフの議論により、高階微分に対しても減衰を拡張可能である。