[論文レビュー] On uniform exponential ergodicity of Markovian multiclass many-server queues in the Halfin-Whitt regime

Ari Arapostathis, Hassan Hmedi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ハーフィン＝ウィット・スケーリング下でのマルチクラス多数サーバー キューイング系に対して、一様なリャプノフ関数アプローチを用いて、一様な指数的エルゴード性を確立する。正の余剰容量および一般の仕事保存的マルコフ型スケジューリング方針の下で、拡散スケーリングされたキュー長過程は、指数的レートで定常分布に収束し、定常分布の不変測度は、離脱率に応じて一様な指数的尾部または指数的ガウス型尾部を示すことが証明される。

ABSTRACT

We study ergodic properties of Markovian multiclass many-server queues which are uniform over scheduling policies, as well as the size n of the system. The system is heavily loaded in the Halfin-Whitt regime, and the scheduling policies are work-conserving and preemptive. We provide a unified approach via a Lyapunov function method that establishes Foster-Lyapunov equations for both the limiting diffusion and the prelimit diffusion-scaled queueing processes simultaneously. We first study the limiting controlled diffusion, and we show that if the spare capacity (safety staffing) parameter is positive, then the diffusion is exponentially ergodic uniformly over all stationary Markov controls, and the invariant probability measures have uniform exponential tails. This result is sharp, since when there is no abandonment and the spare capacity parameter is negative, then the controlled diffusion is transient under any Markov control. In addition, we show that if all the abandonment rates are positive, the invariant probability measures have sub-Gaussian tails, regardless whether the spare capacity parameter is positive or negative. Using the above results, we proceed to establish the corresponding ergodic properties for the diffusion-scaled queueing processes. In addition to providing a simpler proof of the results in Gamarnik and Stolyar [Queueing Syst (2012) 71:25-51], we extend these results to the multiclass models with renewal arrival processes, albeit under the assumption that the mean residual life functions are bounded. For the Markovian model with Poisson arrivals, we obtain stronger results and show that the convergence to the stationary distribution is at an exponential rate uniformly over all work-conserving stationary Markov scheduling policies.

研究の動機と目的

• ハーフィン＝ウィット・レジーム下で、すべての仕事保存的マルコフ型スケジューリング方針にわたる、拡散スケーリングされたマルチクラス多数サーバー キューイング系の、一様な指数的エルゴード性を確立すること。
• プリリミットおよび極限拡散過程の両方について、収束速度および不変測度の尾部挙動に関する未解決の問題を解消すること。
• プリリミットのキューイング過程およびその拡散極限に同時に適用可能な、統一的なフォスター＝リャプノフ枠組みを構築すること。
• 離脱率および余剰容量が定常分布の尾部減衰に与える影響を分析すること。
• 有界平均残存寿命の仮定の下で、ポアソン到着プロセスへの指数的エルゴード性の結果の拡張および強化を行うこと。

提案手法

• 作業負荷および停止時間プロセスを組み合わせた重み付き・傾き補正型リャプノフ関数を構築し、区分的線形のドリフトを扱うためにスムージングカットオフを導入する。
• 極限の制御付き拡散過程およびプリリミットの拡散スケーリング過程の両方に、フォスター＝リャプノフ基準を同時に適用する。
• 正負の半直線上のダイナミクスを捉えるために、適切に選ばれた重みと傾き補正を施した共通の二次型リャプノフ関数を用いる。
• 拡散スケーリング過程の生成作用素に対してフォスター＝リャプノフ方程式を導出し、状態のL1ノルムに比例する負のドリフトを示す。
• 2階微分の上界およびドリフト不等式を用いて、すべてのスケジューリング方針にわたる一様な指数的エルゴード性を保証する。
• 区分的オーナイズ・ウーレンバック過程および区分的線形ドリフトを有するSDEの結果を活用し、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーフィン＝ウィット・レジーム下で、すべての定常マルコフ制御に対して、極限の制御付き拡散過程は指数的エルゴード的か？
• RQ2 離脱率が正かゼロかに応じて、不変測度の尾部漸近的挙動はどのように異なるか？
• RQ3 同一のリャプノフ関数フレームワークを用いて、プリリミットおよび極限の拡散過程の両方について、一様な指数的エルゴード性を確立できるか？
• RQ4 一般の仕事保存的方針の下で、拡散スケーリングキューイング過程の定常分布への収束速度はどの程度か？
• RQ5 余剰容量パラメータが正か負かに応じて、不変分布の尾部特性はどのように変化するか？

主な発見

• 余剰容量パラメータが正の場合、極限の制御付き拡散過程は、すべての定常マルコフ制御にわたって一様に指数的エルゴード的であり、不変測度は一様な指数的尾部を示す。
• すべての離脱率が正の場合、極限拡散過程の不変測度は、余剰容量パラメータの符号に関係なく、指数的ガウス型尾部を示す。
• ポアソン到着の場合、拡散スケーリングキューイング過程の定常分布への収束は、すべての仕事保存的定常マルコフスケジューリング方針にわたって一様に指数的レートで発生する。
• すべてのクラスで離脱がある場合、任意の $\eta > 0$ および十分に大きな $n$ に対して、定常分布の下で $\exp(\eta \|\hat{x}^{n}\|_1)$ は可積分である。
• 離脱がない場合で、余剰容量パラメータが負の場合、任意のマルコフスケジューリング方針のもとで、システムは瞬発的であることが示され、正の余剰容量条件の鋭さが裏付けられる。
• 提案されたリャプノフ関数構成法により、プリリミットおよび極限プロセスの統一的取り扱いが可能となり、従来の手法に比べてより単純かつ一般的な証明が得られる。