[論文レビュー] On vanishing of Abelian integrals and contraction of curves

Hossein Movasati, Evelina Viada|arXiv (Cornell University)|May 17, 2005

advanced mathematical theories被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、数体上に定義された genus ≥2 の曲線 C 上の正則1形式 ω が、トポロジカルなサイクル γ を渡って積分して0になるならば、C は正則な1形式 ω が D から引き戻された、より低い genus の曲線 D に非自明な収縮を持つ必要があることを確立している。主な結果は、有界次数の収縮であり、写像の次数および D の定義体の次数について明示的な上界が得られる。これは、C のヤコビアンにアーベル部分多様体定理を適用することで証明される。

ABSTRACT

In this article we consider a smooth curve C of genus at least two. We prove that if the integral of a differential 1-form of the first kind ω on a topological cycle γ of C is zero and both C and ω are defined over a number field, then there must be a non-trivial contraction of C to another curve D of smaller positive genus such that the topological cycle γ is mapped to zero under this contraction and ω is the pull-back of some differential form on D. We give an upper bound for the degree of the contraction and for the degree of the field of definition of D in terms of some numerical invariants. The basic tool of the proof is the abelian Subvariety Theorem. This ensures the existence of an abelian subvariety B of a given abelian variety A and of bounded degree, under the condition that there exists a proper subspace of the tangent space of A at zero which contains a period of A. The fact that a curve can be embedded in its Jacobian, provides the link between the two situations. 1

研究の動機と目的

• 曲線の genus ≥2 における正則1形式がトポロジカルなサイクルを渡って積分して0になる幾何学的・算術的条件を理解すること。
• そのような積分の消える条件が、元の曲線からより低い genus の曲線への非自明な準同型の存在を意味するかどうかを特定すること。
• 収縮写像の次数および目標曲線の定義体の次数について、有効的な上界を確立すること。
• アーベル積分のトポロジカルな消える条件と、周期条件を通じてヤコビアン内に存在するアーベル部分多様体の存在を結びつけること。
• アーベル部分多様体定理を用いて、数論的および幾何学的特徴付けを提供し、アーベル積分が消える曲線を特定すること。

提案手法

• 曲線 C をそのヤコビアン多様体 J(C) に埋め込み、C から J(C) への標準写像を用いて、トポロジカルおよび微分的条件を算術的幾何的条件に翻訳する。
• アーベル部分多様体定理を用いて、J(C) の接空間の原点における適切な部分空間に周期が含まれる限り、有界次数の適切なアーベル部分多様体 B ⊂ J(C) の存在を保証する。
• ω が γ を渡って積分して0になるという条件を、周期を含む適切な接空間部分空間の存在と一致させ、アーベル部分多様体定理の適用を誘発する。
• 商アーベル多様体 A = J(C)/B を構成し、トーリーの定理により、A はより小さい正の genus の曲線 D に対応する。
• 元の C 上の微分形式 ω が、収縮写像 C → D による D 上の正則1形式の引き戻しであることを示す。
• C および ω の数値的不変量を用いて、収縮写像の次数および D の定義体の次数について明示的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則1形式のアーベル積分が曲線上で消える条件が、より低い genus の曲線への非自明な準同型の存在を意味する条件は何か？
• RQ2 ヤコビアンの周期の消える条件を用いて、有界次数のアーベル部分多様体を構成できるか？
• RQ3 そのような消える条件が成立する場合、収縮写像の次数および目標曲線の定義体の次数について、有効的な上限は何か？
• RQ4 アーベル部分多様体定理は、積分のトポロジカルな消える条件と曲線の幾何的収縮をどのように結びつけるか？
• RQ5 正則1形式がサイクル上で消えるとき、ヤコビアンの構造は、そのような収縮の存在をどの程度まで反映するのか？

主な発見

• 正則1形式 ω がトポロジカルなサイクル γ を渡って積分して0であり、かつ C と ω が数体上に定義されているならば、C は正のより小さい genus の曲線 D に非自明に収縮する。
• C 上の微分形式 ω は、収縮写像 C → D による D 上の正則1形式の引き戻しである。
• 収縮写像 C → D の次数は、C および ω の数値的不変量の関数として有界である。
• 目標曲線 D は、C および ω の幾何学的性質から得られる明示的な不変量によって、次数が有界な数体上に定義される。
• このような収縮の存在は、C のヤコビアンにアーベル部分多様体定理を適用することで保証される。
• 証明により、アーベル積分の消える条件と、次数が制御されたアーベル部分多様体の存在との明確な関係が確立される。