[論文レビュー] On Vassiliev invariants of braid groups of the sphere

N. Kaabi, V. V. Vershinin|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、降下中心系列を用いた群環およびリー代数の技法により、$n$ 個の穴あき球面のブレード群および写像類群に対して普遍なバシリエフ不変量を構成する。古典的ケースとは異なり、球面の 2- torsion のため、有理数ではなく整数上での作業が不可避であり、不変量は乗法的でない。これは、有理バシリエフ不変量では区別できない要素、例えば自明なブレードと $\tau = (\sigma_1\cdots\sigma_{n-1})^n$ を検出可能であり、関連する次数付きリー代数における $\mathbb{Z}/2^k$- torsion 成分のおかげである。

ABSTRACT

We construct a universal Vassiliev invariant for braid groups of the sphere and the mapping class groups of the sphere with $n$ punctures. The case of a sphere is different from the classical braid groups or braids of oriented surfaces of genus strictly greater than zero, since Vassiliev invariants in a group without 2-torsion do not distinguish elements of braid group of a sphere.

研究の動機と目的

• 球面に $n$ 個の穴があいた場合のブレード群 $B_n(S^2)$ および写像類群 $\mathcal{M}_n$ の普遍バシリエフ不変量を開発すること。
• 群構造における 2- torsion のため、有理バシリエフ不変量が $B_n(S^2)$ の要素を区別できないという問題に対処すること。
• 有理数係数の制限を避けるために、整数 $\mathbb{Z}$ 上での不変量の構成。
• 降下中心系列を通じて、関連する次数付きリー代数と群環の間の代数的同型を確立し、不変量を実現すること。

提案手法

• 写像類群 $\mathcal{M}_n$ およびブレード群 $B_n(S^2)$ の降下中心系列を用いて、次数付きリー代数 $\widehat{\mathcal{M}_n}$ を定義する。
• 普遍バシリエフ不変量を写像 $\mu: \mathbb{Z}[B_n(S^2)] \to \mathbb{Z}\langle\langle x_1, \dots, x_k \rangle\rangle \widehat{\otimes} \widehat{\mathcal{A}}$ として構成する。ここで $\widehat{\mathcal{A}} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$ である。
• ファデル＝ニューウォルトのファイブレーションおよびガーシド要素 $\Delta$ を用いて、$P_n(S^2)$ および $\mathcal{M}_n$ の構造を分析し、特に球面関係 $\sigma_1\cdots\sigma_{n-1}^2\cdots\sigma_1 = 1$ を扱う。
• 純写像類群 $\mathcal{PM}_n$ にマグナス展開を適用し、$\widehat{\mathcal{A}}$ とのテンソル積を用いて全群へ拡張し、 torsion を捉える。
• 商 $\widehat{\mathcal{M}_n}/\Phi^m(\widehat{\mathcal{M}_n})$ と $\mathbb{Z}\langle\langle x_1, \dots, x_k \rangle\rangle \otimes \mathbb{Z}/2^k$ の同型を用いて、不変量の値をモデル化する。
• 不変量の非乗法的性質および $\mathbb{Z}/2^k$- torsion 成分による要素検出能力を検証する。例えば $\widehat{\mathcal{A}}$ における $1$ と $1+x$ は、$\mathbb{Z}/2^k$ 成分を通じて区別可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2- torsion のため有理数係数のバシリエフ不変量が失敗する球面ブレード群 $B_n(S^2)$ に対して、整数 $\mathbb{Z}$ 上に普遍バシリエフ不変量を構成できるか？
• RQ2 2- torsion を含まないアーベル群係数のバシリエフ不変量が、なぜ $B_n(S^2)$ の要素（例えば自明なブレードと $\tau = (\sigma_1\cdots\sigma_{n-1})^n$）を区別できないのか？
• RQ3 写像類群 $\mathcal{M}_n$ の関連する次数付きリー代数の構造は、$B_n(S^2)$ の 2- torsion をどのように反映しているか？
• RQ4 $\mathbb{Z}[B_n(S^2)]$ 及びその商 $\Phi^m(\mathbb{Z}[B_n(S^2)])$ は、普遍不変量を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 普遍不変量は、有理バシリエフ不変量では区別できない要素を検出できるか？ その代数的仕組みは何か？

主な発見

• $B_n(S^2)$ および $\mathcal{M}_n$ の普遍バシリエフ不変量は、有理数 $\mathbb{Q}$ ではなく整数 $\mathbb{Z}$ 上に構成されており、有理不変量では捉えきれない 2- torsion 効果を反映している。
• 不変量は非乗法的であり、正の genus の曲面では乗法的普遍不変量が存在しないことと整合的であるが、球面の場合には torsion のため特異である。
• 自明なブレードと $\tau = (\sigma_1\cdots\sigma_{n-1})^n$ は、任意の torsion-free アーベル群係数のバシリエフ不変量では区別できない。なぜなら、その差が $\widehat{\mathcal{A}} \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$ 内で $x$ にマッピングされ、torsion-free の終域では消えるからである。
• $n=4$ の場合、$P_4(S^2) \cong F_2 \times C_2$ であり、関連する次数付きリー代数は $\mathfrak{L} \oplus \mathbb{Z}/2$ である。このとき、普遍不変量は $\mu_{\text{univ}} = \mu_e \otimes \alpha$ で与えられる。
• $n=5$ の場合、$\mathcal{PM}_5 \cong F_3 \rtimes F_2$ であり、不変量は半直積のマークフ・ノーマル形式を介して定義され、$\mu(f_3f_2) = \mu_3(f_3)\mu_2(f_2)$ となる。ここで $\mu_i$ はマグナスに類似した展開である。
• 不変量は $\mathbb{Z}/2^k$- torsion 成分を通じて要素を検出可能である。例えば、$x \in \widehat{\mathcal{A}}$ は $\mathbb{Z}[B_n(S^2)]/\Phi^{m+1}(\mathbb{Z}[B_n(S^2)])$ 内で $\mathbb{Z}/2^k$ の生成元にマッピングされ、そうでない場合に区別できない要素を区別可能にする。