[論文レビュー] Once more on comparison of tail index estimators

Vygantas Paulauskas, Marijus Vaičiulis|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 22被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、重めの尾を持つ分布の尾指数に対するHill、Pickands、de Vries推定量と、グループ化された順序統計量に基づく新たに提案された推定量の性能を比較する。第二階層正則変動条件を用いて、最適なサンプルフラクションを導出し、特定のパrameter領域では新推定量がHillおよびde Vries推定量を上回ることを示している。一方、Pickands推定量および新推定量は、(α, β)平面の特定の領域で優位である。

ABSTRACT

We consider heavy-tailed distributions and compare the well-known estimators of the tail index, based on extreme value theory with a comparatively recent estimator based on a different idea.

研究の動機と目的

• 第二階層正則変動の下で、古典的尾指数推定量（Hill、Pickands、de Vries）の漸近的性能を比較すること。
• 確率的コン pact凸安定分布からの順序統計量に基づいて導出された、新たに提案された推定量の評価。
• 第二階層条件の下で、各推定量の最適なサンプルフラクションを特定すること。
• 漸近的相対効率を用いて、新推定量の平均二乗誤差（MSE）を既存の推定量と比較すること。
• (α, β)パラメータ領域において、新推定量が古典的推定量を上回るか、劣るかを特定すること。

提案手法

• サンプルをサイズmのn個のグループに分け、各グループで2番目に大きな順序統計量と最大順序統計量の比を計算する。
• 推定量は、これらの比の平均として定義される：$ Z_n = n^{-1} ar{S}_n $、ここで $ S_n = ar{S}_n $ はグループ内比の和である。
• 第二階層条件 $ 1 - F(x) = C_1 x^{-eta} + C_2 x^{-eta} + o(x^{-eta}) $（$ 0 < \beta < \beta \neq \beta $）の下で、漸近的正規性と最適なサンプルフラクションの選択が導かれる。
• 各推定量の漸近的平均二乗誤差の最小化を用いて、最適なサンプルフラクション $ k^{(j)}_{\text{opt}}(N) $ が導出される。
• 漸近的相対効率は、平均二乗誤差の極限比として計算される：$ RMMSE(j) = \frac{\mathbb{E}(\hat{p} - p)^2}{\mathbb{E}(p_{N,k}^{(j)} - p)^2} $。
• (α, β)および(γ, ρ)平面におけるグラフィカル比較により、各推定量の優位領域を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (α, β)平面のどの領域で、新規のグループベース推定量の漸近的平均二乗誤差がHill推定量よりも小さいか？
• RQ2 第二階層パラメータの異なる値において、新推定量の性能はPickandsおよびde Vries推定量と比べてどのように異なるか？
• RQ3 第二階層正則変動の下で、新推定量の最適なサンプルフラクション $ k $ は何か？
• RQ4 漸近的相対効率の観点から、新推定量が古典的推定量を上回るか、劣る条件は何か？
• RQ5 (α, β)ではなく(γ, ρ)に再パラメータ化した場合、推定量の優位領域はどのように変化するか？

主な発見

• Hill推定量 ($ p_{N,k}^{(1)} $) は、すべての $ 0 < \alpha < \beta $ に対して $ RMMSE(1) > 1 $ であるため、新推定量 $ \hat{p} $ よりも漸近的平均二乗誤差が大きい。
• de Vries推定量 ($ p_{N,k}^{(4)} $) も、不等式 $ (\alpha+1)^6 - 4\alpha^3(\alpha+2) > 0 $ のため、新推定量を上回る。
• 図1aに示すように、$ RMMSE(2) < 1 $ の領域では、新推定量 $ \hat{p} $ がPickands推定量 ($ p_{N,k}^{(2)} $) を上回る。
• 図1bに示すように、$ RMMSE(3) < 1 $ の領域では、新推定量 $ \hat{p} $ が $ p_{N,k}^{(3)} $ 推定量を上回る。
• 図1cでは、新推定量が濃いグレー（優位）、Pickandsが黒、$ p_{N,k}^{(3)} $ が薄いグレーで示され、特定の(α, β)領域での明確な優位性が確認できる。
• 漸近的相対効率比 $ RMMSE(j) $ は、パラメータ $ \alpha, \beta, \zeta $ およびガンマ関数 $ \Gamma(\cdot) $ を含む閉形式で導出されており、$ \eta(\alpha, \beta) $ に明示的な依存関係を示す。