[論文レビュー] One dimensional Convolutional Goppa Codes over the projective line

J. A. Domínguez Pérez, José M. Muñoz Porras+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数曲線上の線形系統から導かれる多項式生成子を用いて、射影直線上における1次元MDS畳み込みGoppa符号の一般化された構成法を提示する。特定の族の符号—生成行列が線形形式の累乗を持つもの—がMDSであることを、ブロック評価がSingletonの不等式を満たすことで証明し、従来の構成を一般化するとともに、MDS符号がパrameter空間において稠密な開部分集合をなすことを示した。

ABSTRACT

We give a general method to construct MDS one-dimensional convolutional codes. Our method generalizes previous constructions of H. Gluesing-Luerssen and B. Langfeld. Moreover we give a classification of one-dimensional Convolutional Goppa Codes and propose a characterization of MDS codes of this type.

研究の動機と目的

• 代数幾何的技法を用いて、射影直線上における1次元MDS畳み込み符号を一般化して構成する方法を開発すること。
• Goppa符号理論を射影直線上に応用することで、従来のMDS畳み込み符号の構成をより広いクラスへ拡張すること。
• 射影直線上における1次元畳み込みGoppa符号を分類し、このような符号のMDS性を特徴付けるフレームワークを提供すること。
• 1次元MDS畳み込みGoppa符号がパrameter空間において一般的である、すなわち稠密な開部分集合をなすことの確立。

提案手法

• Riemann-Roch空間 $ L(G) $ の部分空間を用いて1次元畳み込みGoppa符号を構成し、ここで $ G $ は $ \mathbb{P}^1 $ 上の次数 $ r-s $ の有理型被覆である。
• 生成行列を $ \mathcal{G} = \sum_{i=s}^{r} \lambda_i (a_j z + b_j)^i $ の形に定義し、$ \lambda_i \in \mathbb{F}_q $ とする。
• MDS畳み込み符号の特徴付けをブロック評価を用いて行う：符号がMDSであるとは、すべての $ j $ 階層ブロック符号のハミング距離が $ n - j $ に等しいことである。
• 自由距離の理論的上限としての一般化されたSingleton不等式 $ n(r+1) $ を用い、符号がMDSである場合にこれが達成されることを示す。
• 基本生成行列の $ k \times k $ 小行列式の最大公約数が1であるという事実を用い、行列が正規で、適切な部分加群を定義することを保証する。
• 各 $ G_j $ がブロック符号に対応する多項式分解 $ \mathcal{G} = \sum_{j=0}^r G_j z^j $ を分析し、これらのブロックのMDS性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何的技法を用いて、射影直線上における1次元MDS畳み込み符号を一般化して構成する方法を開発できるか？
• RQ2 1次元畳み込みGoppa符号がMDSであることを保証する生成行列の条件は何か？
• RQ3 Riemann-Roch空間 $ L(G) $ の構造を用いて、射影直線上における1次元畳み込みGoppa符号をどのように分類できるか？
• RQ4 1次元MDS畳み込みGoppa符号の集合が、すべてのこのような符号のパrameter空間において稠密か？
• RQ5 1次元畳み込みGoppa符号に対して、MDS符号の特徴付けを明示的に決定できるか？

主な発見

• 本稿では、生成行列が $ \mathcal{G} = \big( (a_1 z + b_1)^r, \dots, (a_n z + b_n)^r \big) $ の形をとる、1次元MDS畳み込みGoppa符号の明示的族を構成し、それがMDSであることを証明した。ここで $ b_i / a_i = c^{i-1} $ であり、$ c \in \mathbb{F}_q $ は原始元である。
• $ s = r $ の場合、生成行列 $ \mathcal{G} = \big( a_1^r (z+1)^r, \dots, a_n^r (z + c^{n-1})^r \big) $ を持つ符号 $ CGC(n,1) $ は正規でMDSであり、自由距離 $ n(r+1) $ を達成する。
• $ s = 0 $ の場合、$ b_i = b $ かつ $ a_i = a^{i-1} $ とすると、生成行列 $ \mathcal{G} = \sum_{i=0}^r \sum_{j=0}^i \binom{i}{j} b^{i-j} a^{(j)(i-1)} z^j $ は、次数 $ r $ で自由距離 $ n(r+1) $ のMDS符号を生成する。
• 1次元畳み込みGoppa符号のMDS型の集合は、射影空間 $ \mathbb{P}^r_{\mathbb{F}_q} $ において稠密な開部分集合をなしており、これはほぼすべてのこのような符号がMDSであることを示している。
• Gluesing-Langfeldの結果を一般化し、$ b_i = 0 $ の場合に彼のMDS符号のクラスが特殊な場合として回復されることを示した。
• 本稿では、MDS性がパrameter空間において開条件であることを確立し、少なくとも1つのMDS符号が存在するため、MDSの軌跡は空でなく、稠密である。